Calcule:
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é
e queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma expressão em função de
mais uma constante de integração
.
Passo 2
Observação chave sobre a expressão: a potência de
é ímpar (
). Uma técnica padrão para integrais com potências trigonométricas é separar um fator
(o qual combinará com
na substituição) e reescrever o restante usando a identidade pitagórica. Vou explicar isso passo a passo.
Identidade que vamos usar:
Aqui cada símbolo significa:
é o cosseno de
,
é o seno de
. A identidade decorre de
.
Passo 3
Separe um fator
e escreva
como
:
Agora substituímos
pela identidade:
Passo 4
Escolha da substituição: como aparece
elevado e também
isolado, faz sentido usar a substituição
Isso porque a derivada de
é
, então
. Aqui
é uma nova variável que representa
e
é seu diferencial.
Passo 5
Faça a mudança de variável substituindo
por
e
por
:
Desenvolvendo o produto dentro da integral:
Passo 6
Integre termo a termo usando a regra de potência para integrais: para
,
Aplicando aos dois termos, com
e
,
Portanto
Passo 7
Volte para a variável original
substituindo
:
Passo 8
Verificação rápida (útil na prova): derive a resposta para checar se volta ao integrando. Diferenciando
que coincide com o integrando. Logo a primitiva está correta.