Calcule:
int \operatorname{sen}^{4} x \cos ^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{4} x \cos^{3} x \, dx.
Informações dadas: a função a integrar é \operatorname{sen}^{4} x \cos^{3} x e queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma expressão em função de x mais uma constante de integração C.

Passo 2

Observação chave sobre a expressão: a potência de \cos x é ímpar ( \cos^{3}x). Uma técnica padrão para integrais com potências trigonométricas é separar um fator \cos x (o qual combinará com dx na substituição) e reescrever o restante usando a identidade pitagórica. Vou explicar isso passo a passo.
Identidade que vamos usar:
\cos^{2}x = 1 - \operatorname{sen}^{2}x.
Aqui cada símbolo significa: \cos x é o cosseno de x, \operatorname{sen} x é o seno de x. A identidade decorre de \sin^{2}x+\cos^{2}x=1.

Passo 3

Separe um fator \cos x e escreva \cos^{3}x como \cos^{2}x\cdot\cos x:
\int \operatorname{sen}^{4} x \cos^{3} x \, dx = \int \operatorname{sen}^{4} x \big(\cos^{2}x\big)\cos x \, dx.
Agora substituímos \cos^{2}x pela identidade:
\int \operatorname{sen}^{4} x \big(1 - \operatorname{sen}^{2}x\big)\cos x \, dx.

Passo 4

Escolha da substituição: como aparece \operatorname{sen} x elevado e também \cos x\,dx isolado, faz sentido usar a substituição
u = \operatorname{sen} x.
Isso porque a derivada de \operatorname{sen} x é \cos x, então du = \cos x\,dx. Aqui u é uma nova variável que representa \operatorname{sen} x e du é seu diferencial.

Passo 5

Faça a mudança de variável substituindo \operatorname{sen} x por u e \cos x\,dx por du:
\int \operatorname{sen}^{4} x \big(1 - \operatorname{sen}^{2}x\big)\cos x \, dx = \int u^{4}\big(1 - u^{2}\big) \, du.
Desenvolvendo o produto dentro da integral:
\int u^{4}\big(1 - u^{2}\big) \, du = \int \big(u^{4} - u^{6}\big) \, du.

Passo 6

Integre termo a termo usando a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando aos dois termos, com n=4 e n=6,
\int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5},\qquad \int u^{6}\,du = \frac{u^{7}}{7}.
Portanto
\int \big(u^{4} - u^{6}\big) \, du = \frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{7}}{7} + C.

Passo 7

Volte para a variável original x substituindo u = \operatorname{sen} x:
\frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{7}}{7} + C = \frac{\operatorname{sen}^{5} x}{5} - \frac{\operatorname{sen}^{7} x}{7} + C.

Passo 8

Verificação rápida (útil na prova): derive a resposta para checar se volta ao integrando. Diferenciando
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\operatorname{sen}^{5} x}{5} - \frac{\operatorname{sen}^{7} x}{7}\right) = \operatorname{sen}^{4}x\cos x - \operatorname{sen}^{6}x\cos x = \operatorname{sen}^{4}x\big(1-\operatorname{sen}^{2}x\big)\cos x = \operatorname{sen}^{4}x\cos^{3}x,
que coincide com o integrando. Logo a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{\operatorname{sen}^{5} x}{5} - \frac{\operatorname{sen}^{7} x}{7} + C

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