Calcule.
\int \frac{1}{(x-1)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral indefinida
\int \frac{1}{(x-1)^{3}} \, dx.
Estamos trabalhando com integração de potências de uma função linear e vamos usar a regra
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C,\quad n\neq -1.

Passo 2

Fazemos a substituição u = x-1, o que implica du = dx. A integral torna-se
\int u^{-3}\,du.

Passo 3

Aplicando a fórmula de potência para n=-3,
\int u^{-3}\,du = \frac{u^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2}u^{-2} + C.

Passo 4

Voltando à variável original x, com u = x-1, obtemos
-\frac{1}{2}(x-1)^{-2} + C = -\frac{1}{2(x-1)^{2}} + C.

Resposta

-\frac{1}{2(x-1)^{2}} + C

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