1. Calcule \int_{\gamma_{1}+\gamma_{2}} \frac{-y d x+x d y}{x^{2}+y^{2}}, onde \gamma_{1} é a circunferência x^{2}+y^{2}=1, percorrida no sentido positivo, e \gamma_{2} é a circunferência (x-2)^{2}+y^{2}=1, percorrida no sentido horário.
    (resp.: 2 \pi )
  2. Calcule \int_{\gamma} \frac{x d x+y d y}{x^{2}+y^{2}}, onde \gamma consiste do arco da parábola y=x^{2}-1,-1 \leq x \leq 2, seguido do segmento de reta que une os pontos (2,3) e (-1,0).

Passo 1

Para a integral
\int_{\gamma_{1}+\gamma_{2}}\frac{-y\,dx+x\,dy}{x^{2}+y^{2}},
temos uma forma diferencial \omega=\frac{-y\,dx+x\,dy}{x^{2}+y^{2}}
que, em coordenadas polares (x=r\cos\theta,y=r\sin\theta), corresponde a d\theta. O valor de \displaystyle\int\omega em um caminho fechado é 2\pi vezes o índice de giro do caminho em torno da origem.

Passo 2

A curva \gamma_{1} é a circunferência de raio 1 centrada na origem, orientada positivamente, logo encobre a origem uma vez com índice de giro +1, dando
\int_{\gamma_{1}}\omega=2\pi.
A curva \gamma_{2} é a circunferência de raio 1 centrada em (2,0), orientada no sentido horário. Como essa circunferência não envolve a origem, seu índice de giro em relação ao ponto (0,0) é 0, e portanto
\int_{\gamma_{2}}\omega=0.
Somando os dois trechos,
\int_{\gamma_{1}+\gamma_{2}}\omega =\int_{\gamma_{1}}\omega+\int_{\gamma_{2}}\omega =2\pi+0=2\pi.

Passo 3

Agora para
\int_{\gamma}\frac{x\,dx+y\,dy}{x^{2}+y^{2}},
onde \gamma é o arco da parábola y=x^{2}-1 de (-1,0) a (2,3) seguido do segmento de reta de (2,3) a (-1,0). Note que
\frac{x\,dx+y\,dy}{x^{2}+y^{2}} =d\!\Bigl(\tfrac12\ln(x^{2}+y^{2})\Bigr),
isto é, é uma forma exata em \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}.

Passo 4

O caminho \gamma é fechado e não passa pela origem, e sobre qualquer curva fechada de uma forma exata o integral é zero. Logo,
\int_{\gamma}\frac{x\,dx+y\,dy}{x^{2}+y^{2}}=0.

Resposta

0

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