- Calcule
, onde
é a circunferência
, percorrida no sentido positivo, e
é a circunferência
, percorrida no sentido horário.
(resp.:
)
- Calcule
, onde
consiste do arco da parábola
, seguido do segmento de reta que une os pontos
e
.
(resp.:
Passo 1
Para a integral
temos uma forma diferencial
que, em coordenadas polares , corresponde a
. O valor de
em um caminho fechado é
vezes o índice de giro do caminho em torno da origem.
que, em coordenadas polares
Passo 2
A curva
é a circunferência de raio 1 centrada na origem, orientada positivamente, logo encobre a origem uma vez com índice de giro
, dando
A curva
é a circunferência de raio 1 centrada em
, orientada no sentido horário. Como essa circunferência não envolve a origem, seu índice de giro em relação ao ponto
é 0, e portanto
Somando os dois trechos,
Passo 3
Agora para
onde
é o arco da parábola
de
a
seguido do segmento de reta de
a
. Note que
isto é, é uma forma exata em
.
Passo 4
O caminho
é fechado e não passa pela origem, e sobre qualquer curva fechada de uma forma exata o integral é zero. Logo,