- Na região
, interior à elipse
e exterior à circunferência
, com
, considere o campo vetorial
. Calcular a integral de linha
(resp.:
)
- Quando a curva
não é fechada e deseja-se usar o Teorema de Green, é possível “fechar” a curva com um arco auxiliar
e observar que
Seja
o arco constituído do segmento de reta de
até
, seguido do segmento de
até
. Calcule
.
Passo 1
Para a questão 7, temos o campo
e a fronteira de
é composta pela elipse
e a fronteira
por fora e pela circunferência
por dentro, com
.
O objetivo é calcular
usando o Teorema de Green, que diz
O objetivo é calcular
usando o Teorema de Green, que diz
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Logo o integrando de Green é
Passo 3
Assim
A região
vale a área do interior da elipse menos a área do disco de raio
:
Passo 4
Portanto
Passo 5
Para a questão 8, a curva
vai de
a
e depois a
. O campo é
Como
não é fechada, fechamos com o arco auxiliar
que vai de
de volta a
. Então
e sobre o caminho fechado
podemos usar Green.
Passo 6
Calculamos
então o integrando de Green é
A região encerrada é o triângulo com vértices
.
Passo 7
Fazemos
Expandindo e integrando:
Logo
Passo 8
Agora parametrizamos
:
Então
Passo 9
Por fim