Seja
o arco constituído do segmento de reta de
até
, seguido do segmento de
até
. Calcule
.
9. Considere a curva
, descrita por
, e orientada de ( 4,0 ) para ( 2,0 ).
Mostre que:
9. Considere a curva
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo que vamos usar
Temos dois exercícios de linha de integração de uma forma diferencial :
Temos dois exercícios de linha de integração de uma forma diferencial
- A curva
é o arco formado pelo segmento de reta de a e depois o segmento de a . Queremos
Aqui não é exata
, então vamos parametrizar cada segmento e integrar diretamente.
- A curva
é o semicírculo
orientado de
a
. Mostraremos
usando o Teorema de Green e fechando o caminho com o diâmetro de
a
.
Passo 2
Cálculo da integral no exercício 1 – segmento 1
Parametrizamos de a
por
Parametrizamos de
então
Substituindo em
temos
Fazendo
leva a
Passo 3
Avaliação da parte algébrica em 1
Logo
Passo 4
Cálculo da integral no exercício 1 – segmento 2
Parametrizamos de a
por
Parametrizamos de
então
e
. Assim
Passo 5
Soma das duas partes do exercício 1
Passo 6
Cálculo da integral no exercício 2 por Green
Definimos a região como o semicírculo
.
Pela borda fechada (onde
é o diâmetro de
a
), o Teorema de Green dá
Definimos a região
Pela borda fechada
Aqui
logo
. Como
, obtemos
Passo 7
Integral sobre o diâmetro
Sobre de
a
, temos
e
Sobre
então
Passo 8
Concluindo o exercício 2
Da borda fechada,
Da borda fechada,
Isolando a parte sobre
,
Resposta
Exercício 1:
Exercício 2:
Exercício 2: