Calcule \int_{\gamma}\langle\nabla f, d \vec{l}\rangle com
f(x, y)=20 y \cos (x+3)-y x^{3} e \gamma é a metade à direita da elipse (x+3)^{2}+\frac{(y-1)^{2}}{16}=1 no sentido horário.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:\n
  • Pede para calcular \displaystyle \int_{\gamma}\langle\nabla f, d\vec l\rangle.\n
  • A função dada é \displaystyle f(x,y)=20\,y\cos(x+3)-y x^{3}.\n
  • A curva \gamma é “a metade à direita” da elipse \displaystyle (x+3)^{2}+\frac{(y-1)^{2}}{16}=1, orientada no sentido horário.\n
  • Informação geométrica útil (extraída da equação da elipse): o centro da elipse é (-3,1), semi-eixo horizontal é 1 (porque (x+3)^{2} tem coeficiente 1) e semi-eixo vertical é 4 (porque \frac{(y-1)^{2}}{16} corresponde a b^{2}=16, então b=4). Portanto os extremos verticalmente são y=1\pm4, ou seja y=5 e y=-3. Estes dois pontos com x=-3 são as extremidades da metade direita: (-3,5) e (-3,-3).\n
  • O enunciado pergunta o valor numérico da integral ao longo dessa meia-elipse com a orientação indicada.

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicação didática):\n
  • Para qualquer função escalar diferenciável f(x,y) e qualquer curva suave \gamma parametrizada por \vec r(t)=(x(t),y(t)), com t variando de t_0 a t_1, temos a identidade (regra da cadeia):
\frac{d}{dt}\bigl(f(\vec r(t))\bigr)=\nabla f(\vec r(t))\cdot \vec r\,'(t).
Aqui \nabla f=(f_x,f_y) é o vetor gradiente (ou seja, as derivadas parciais de f), \vec r\,'(t)=(x'(t),y'(t)) é o vetor velocidade, e o produto escalar \cdot é a mesma operação \langle\nabla f, d\vec l\rangle sob forma infinitesimal.\n
  • Integrando ambos os lados em t de t_0 a t_1 obtemos o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha de gradiente:
\int_{\gamma}\langle\nabla f, d\vec l\rangle = f(\vec r(t_1)) - f(\vec r(t_0)).
Isto significa que a integral de linha do gradiente de f depende apenas dos valores de f nas extremidades da curva (e não do caminho). Em linguagem informal: \nabla f é um campo conservativo e a integral é a variação de potencial.\n
  • Em termos práticos: precisamos identificar o ponto inicial A e o ponto final B de \gamma seguindo a orientação (sentido horário) e então calcular f(B)-f(A).

Passo 3

Identificar corretamente ponto inicial e ponto final da curva \gamma segundo a orientação dada:\n
  • A metade à direita da elipse tem como extremidades os pontos onde x+3=0, isto é x=-3. Substituindo na equação da elipse obtemos \frac{(y-1)^{2}}{16}=1, então (y-1)^{2}=16 e daí y=1\pm4, isto é y=5 e y=-3. Logo as extremidades são (-3,5) e (-3,-3).\n
  • Agora a orientação: “sentido horário” na metade direita significa que a curva vai do ponto superior ao ponto inferior passando pela direita (pense num relógio girando ao redor do centro (-3,1)). Assim o ponto inicial A é (-3,5) (topo) e o ponto final B é (-3,-3) (fundo).

Passo 4

Calcular f nos extremos (passo a passo):\n
  • Primeiro simplificamos f ao colocar x=-3. Note que \cos(x+3)=\cos(0)=1 quando x=-3. E x^{3}=(-3)^{3}=-27.\n
  • Substituindo em f(x,y)=20\,y\cos(x+3)-y x^{3} obtemos, para x=-3,
f(-3,y)=20\,y\cdot 1 - y\cdot(-27)=20\,y+27\,y=47\,y.
Aqui expliquei cada termo: 20\,y\cos(x+3) virou 20\,y\cdot1 e -y x^{3} virou -y\cdot(-27)=+27y.\n
  • Agora avaliamos nos pontos:\n
f(-3,5)=47\cdot 5=235,\n
f(-3,-3)=47\cdot(-3)=-141.

Passo 5

Aplicar o teorema e calcular a diferença final:\n
  • Pela propriedade do Passo 2,
\int_{\gamma}\langle\nabla f, d\vec l\rangle = f(B)-f(A),
onde A=(-3,5) (início) e B=(-3,-3) (fim), seguindo a orientação horária determinada no Passo 3.\n
  • Substituindo os valores do Passo 4:
\int_{\gamma}\langle\nabla f, d\vec l\rangle = f(-3,-3)-f(-3,5) = -141 - 235 = -376.

Resposta

-376

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