Calcule
com
e
é a metade à direita da elipse
no sentido horário.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:\n
- Pede para calcular
.\n - A função dada é
.\n - A curva
é “a metade à direita” da elipse , orientada no sentido horário.\n - Informação geométrica útil (extraída da equação da elipse): o centro da elipse é
, semi-eixo horizontal é (porque tem coeficiente ) e semi-eixo vertical é (porque corresponde a , então ). Portanto os extremos verticalmente são , ou seja e . Estes dois pontos com são as extremidades da metade direita: e .\n - O enunciado pergunta o valor numérico da integral ao longo dessa meia-elipse com a orientação indicada.
Passo 2
Princípio que vamos usar (explicação didática):\n
- Para qualquer função escalar diferenciável
e qualquer curva suave parametrizada por , com variando de a , temos a identidade (regra da cadeia):
Aqui
é o vetor gradiente (ou seja, as derivadas parciais de
),
é o vetor velocidade, e o produto escalar
é a mesma operação
sob forma infinitesimal.\n
- Integrando ambos os lados em
de a obtemos o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha de gradiente:
Isto significa que a integral de linha do gradiente de
depende apenas dos valores de
nas extremidades da curva (e não do caminho). Em linguagem informal:
é um campo conservativo e a integral é a variação de potencial.\n
- Em termos práticos: precisamos identificar o ponto inicial
e o ponto final de seguindo a orientação (sentido horário) e então calcular .
Passo 3
Identificar corretamente ponto inicial e ponto final da curva
segundo a orientação dada:\n
- A metade à direita da elipse tem como extremidades os pontos onde
, isto é . Substituindo na equação da elipse obtemos , então e daí , isto é e . Logo as extremidades são e .\n - Agora a orientação: “sentido horário” na metade direita significa que a curva vai do ponto superior ao ponto inferior passando pela direita (pense num relógio girando ao redor do centro
). Assim o ponto inicial é (topo) e o ponto final é (fundo).
Passo 4
Calcular
nos extremos (passo a passo):\n
- Primeiro simplificamos
ao colocar . Note que quando . E .\n - Substituindo em
obtemos, para ,
Aqui expliquei cada termo:
virou
e
virou
.\n
- Agora avaliamos nos pontos:\n
Passo 5
Aplicar o teorema e calcular a diferença final:\n
- Pela propriedade do Passo 2,
onde
(início) e
(fim), seguindo a orientação horária determinada no Passo 3.\n
- Substituindo os valores do Passo 4: