Calcule
com
e
com
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde a função e a curva são dadas por
e
Informações relevantes dadas:
- A função
é uma função real de duas variáveis com expressão indicada. - A curva
está parametrizada por no intervalo . - O integrando é o produto escalar entre
e o elemento de linha .
Passo 2
Vamos escrever o vetor gradiente
. Por definição,
Calculando as derivadas parciais de
:
Logo
Passo 3
Explico a relação entre a integral pedida e
(a ideia-chave que facilita muito a conta):
- Para uma curva parametrizada
temos . - A integral de linha torna-se
- Pelo Teorema Fundamental da Cálculo para campos gradiente (ou pela regra da cadeia), a derivada temporal de
é
Portanto a integral integra exatamente essa derivada e resulta na diferença dos valores de
nas extremidades da parametrização:
Essa observação nos poupa de calcular o produto escalar e integrar explicitamente — é a maneira ideal para prova rápida.
Passo 4
Calculemos as coordenadas dos pontos iniciais e finais da curva a partir da parametrização.
Para :
Para
Para
:
Passo 5
Agora avaliamos
nesses pontos.
Primeiro em
:
Agora em
.
Calcule termo a termo:
Calcule termo a termo:
Somando:
Agrupando
e
, obtemos
Passo 6
Aplicando a relação do Passo 3: