Calcule \int_{\gamma}\langle\nabla f, d \vec{l}\rangle com
f(x, y)=5 x-y^{2}+10 x y+9 e \gamma(t)=\left(\frac{2 t}{t^{2}+1}, 1-8 t\right) com -2 \leqslant t \leqslant 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma}\langle\nabla f, d\vec{l}\rangle
onde a função e a curva são dadas por
f(x,y)=5x-y^{2}+10xy+9
e
\gamma(t)=\left(\frac{2t}{t^{2}+1},\,1-8t\right),\quad -2\le t\le 0.
Informações relevantes dadas:
  • A função f é uma função real de duas variáveis com expressão indicada.
  • A curva \gamma está parametrizada por t no intervalo [-2,0].
  • O integrando é o produto escalar entre \nabla f e o elemento de linha d\vec{l}.

Passo 2

Vamos escrever o vetor gradiente \nabla f. Por definição,
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Calculando as derivadas parciais de f(x,y)=5x-y^{2}+10xy+9:
\frac{\partial f}{\partial x}=5+10y,
\frac{\partial f}{\partial y}=-2y+10x.
Logo
\nabla f(x,y)=\big(5+10y,\;-2y+10x\big).

Passo 3

Explico a relação entre a integral pedida e f (a ideia-chave que facilita muito a conta):
  • Para uma curva parametrizada \gamma(t)=(x(t),y(t)) temos d\vec{l}=\gamma'(t)\,dt=(x'(t),y'(t))\,dt.
  • A integral de linha torna-se
\int_{t=-2}^{0}\nabla f(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,dt.
  • Pelo Teorema Fundamental da Cálculo para campos gradiente (ou pela regra da cadeia), a derivada temporal de f(\gamma(t)) é
\frac{d}{dt}f(\gamma(t))=\nabla f(\gamma(t))\cdot\gamma'(t).
Portanto a integral integra exatamente essa derivada e resulta na diferença dos valores de f nas extremidades da parametrização:
\int_{\gamma}\langle\nabla f, d\vec{l}\rangle = f(\gamma(0)) - f(\gamma(-2)).
Essa observação nos poupa de calcular o produto escalar e integrar explicitamente — é a maneira ideal para prova rápida.

Passo 4

Calculemos as coordenadas dos pontos iniciais e finais da curva a partir da parametrização.
Para t=0:
\gamma(0)=\left(\frac{2\cdot 0}{0^{2}+1},\,1-8\cdot 0\right)=(0,1).
Para t=-2:
\gamma(-2)=\left(\frac{2(-2)}{(-2)^{2}+1},\,1-8(-2)\right) =\left(\frac{-4}{4+1},\,1+16\right)=\left(-\tfrac{4}{5},\,17\right).

Passo 5

Agora avaliamos f nesses pontos.
Primeiro em \gamma(0)=(0,1):
f(0,1)=5\cdot 0 - 1^{2} + 10\cdot 0\cdot 1 + 9 = -1+9=8.
Agora em \gamma(-2)=\big(-\tfrac{4}{5},17\big).
Calcule termo a termo:
5x = 5\cdot\left(-\tfrac{4}{5}\right) = -4,
-y^{2} = -17^{2} = -289,
10xy = 10\cdot\left(-\tfrac{4}{5}\right)\cdot 17 = -8\cdot 17 = -136,
\text{e o termo constante } +9.
Somando:
f\!\left(-\tfrac{4}{5},17\right) = -4 -289 -136 +9.
Agrupando -4 +9 = 5 e 289+136=425, obtemos
f\!\left(-\tfrac{4}{5},17\right)=5-425=-420.

Passo 6

Aplicando a relação do Passo 3:
\int_{\gamma}\langle\nabla f, d\vec{l}\rangle = f(\gamma(0)) - f(\gamma(-2)) = 8 - (-420) = 8 + 420 = 428.

Resposta

428

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