Calcule
, onde
é o polígono de vértices
e
orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é o polígono de vértices
,
e
orientado no sentido anti-horário.
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
- A função integranda pode ser escrita como
com - A curva
é o triângulo com vértices e orientação anti-horária (sentido positivo).
Passo 2
Escolha do método: podemos calcular a integral por parametrização dos três lados do triângulo (trabalhoso, porque
e
têm expressões complicadas) ou usar um teorema que transforma a integral de linha fechada numa integral dupla sobre a região interior (muito mais simples aqui). Vou usar esse teorema porque ele nos permite trabalhar com derivadas parciais simples — e, como você vai ver, a parte complicada das funções depende só de uma variável e some ao derivarmos em relação à outra, simplificando muito o cálculo.
Passo 3
Apresentando o teorema (com explicação didática): o Teorema de Green (caso plano) diz que, para uma região
simplesmente conexa e uma curva fechada
orientada positivamente (anti-horário),
O que cada símbolo significa:
-
e são as componentes do campo cujo trabalho queremos calcular. -
é a derivada parcial de em relação a (tratando como constante). -
é a derivada parcial de em relação a (tratando como constante). -
é a integral dupla sobre a região interior à curva .
Como
está orientada anti-horário, a hipótese de orientação do teorema está satisfeita.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando de Green. Primeiro escrevemos
e
novamente:
Agora as derivadas:
-
Derivada parcial de
em relação a . A função depende apenas de , então, ao derivar em relação a , ela é constante e sua derivada é . A derivada de em relação a é . Logo (Observação didática: derivative of a function ofonly w.r.t. is zero porque é tratado como constante.) -
Derivada parcial de
em relação a . A parte depende apenas de , então sua derivada em relação a é . A derivada de em relação a é . Logo
Agora formamos o integrando de Green:
Portanto a integranda é a função constante
na região
.
Passo 5
Interpretando a integral dupla: com o integrando igual a
,
Integrar
sobre uma região dá simplesmente a área dessa região. Assim a integral buscada é a área do triângulo
.
Vamos calcular essa área de forma direta usando as coordenadas dos vértices (dados no enunciado):
- Notei que os vértices
e têm as mesmas ordenadas (peguei isso do enunciado: e ), então o lado é horizontal. O comprimento de é a diferença nas abscissas: - A altura do triângulo em relação a essa base é a distância vertical entre o ponto
(com ) e a reta que contém . Essa distância é - Área do triângulo:
Passo 6
Conclusão final: pela aplicação do Teorema de Green e pelo cálculo da área do triângulo, a integral de linha pedida vale
.