(1,5) Calcule \int_{\gamma}\left[\left(e^{x}\right)^{\operatorname{sen}(x)}-3 y\right] d x+\left[5\left(y^{2}\right)^{\cos (y)}-2 x\right] d y, onde \gamma é o polígono de vértices A=(-4,-1), B=(-6,2) e C=(0,2) orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma}\left[\left(e^{x}\right)^{\operatorname{sen}(x)}-3 y\right] d x+\left[5\left(y^{2}\right)^{\cos (y)}-2 x\right] d y,
onde \gamma é o polígono de vértices A=(-4,-1), B=(-6,2) e C=(0,2) orientado no sentido anti-horário.
Informações dadas que vamos usar:
  • A função integranda pode ser escrita como P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy com P(x,y)=\left(e^{x}\right)^{\operatorname{sen}(x)}-3y,\qquad Q(x,y)=5\left(y^{2}\right)^{\cos y}-2x.
  • A curva \gamma é o triângulo com vértices \;A=(-4,-1),\;B=(-6,2),\;C=(0,2)\; e orientação anti-horária (sentido positivo).

Passo 2

Escolha do método: podemos calcular a integral por parametrização dos três lados do triângulo (trabalhoso, porque P e Q têm expressões complicadas) ou usar um teorema que transforma a integral de linha fechada numa integral dupla sobre a região interior (muito mais simples aqui). Vou usar esse teorema porque ele nos permite trabalhar com derivadas parciais simples — e, como você vai ver, a parte complicada das funções depende só de uma variável e some ao derivarmos em relação à outra, simplificando muito o cálculo.

Passo 3

Apresentando o teorema (com explicação didática): o Teorema de Green (caso plano) diz que, para uma região D simplesmente conexa e uma curva fechada \gamma=\partial D orientada positivamente (anti-horário),
\oint_{\gamma} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA.
O que cada símbolo significa:
  • P(x,y) e Q(x,y) são as componentes do campo cujo trabalho queremos calcular.
  • \partial Q/\partial x é a derivada parcial de Q em relação a x (tratando y como constante).
  • \partial P/\partial y é a derivada parcial de P em relação a y (tratando x como constante).
  • \iint_{D} (\cdot)\,dA é a integral dupla sobre a região D interior à curva \gamma.
Como \gamma está orientada anti-horário, a hipótese de orientação do teorema está satisfeita.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando de Green. Primeiro escrevemos P e Q novamente:
P(x,y)=\left(e^{x}\right)^{\operatorname{sen}(x)}-3y,\qquad Q(x,y)=5\left(y^{2}\right)^{\cos y}-2x.
Agora as derivadas:
  • Derivada parcial de Q em relação a x. A função 5\left(y^{2}\right)^{\cos y} depende apenas de y, então, ao derivar em relação a x, ela é constante e sua derivada é 0. A derivada de -2x em relação a x é -2. Logo
    \frac{\partial Q}{\partial x} = 0 - 2 = -2.
    (Observação didática: derivative of a function of y only w.r.t. x is zero porque y é tratado como constante.)
  • Derivada parcial de P em relação a y. A parte \left(e^{x}\right)^{\operatorname{sen}(x)} depende apenas de x, então sua derivada em relação a y é 0. A derivada de -3y em relação a y é -3. Logo
    \frac{\partial P}{\partial y} = 0 - 3 = -3.
Agora formamos o integrando de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (-2) - (-3) = 1.
Portanto a integranda é a função constante 1 na região D.

Passo 5

Interpretando a integral dupla: com o integrando igual a 1,
\oint_{\gamma} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} 1\,dA.
Integrar 1 sobre uma região dá simplesmente a área dessa região. Assim a integral buscada é a área do triângulo ABC.
Vamos calcular essa área de forma direta usando as coordenadas dos vértices (dados no enunciado):
  • Notei que os vértices B e C têm as mesmas ordenadas y=2 (peguei isso do enunciado: B=(-6,2) e C=(0,2)), então o lado BC é horizontal. O comprimento de BC é a diferença nas abscissas: \text{base } BC = 0 - (-6) = 6.
  • A altura do triângulo em relação a essa base é a distância vertical entre o ponto A (com y=-1) e a reta y=2 que contém BC. Essa distância é \text{altura} = 2 - (-1) = 3.
  • Área do triângulo: \text{Área}(ABC) = \frac{\text{base}\times\text{altura}}{2} = \frac{6\cdot 3}{2} = 9.Á

Passo 6

Conclusão final: pela aplicação do Teorema de Green e pelo cálculo da área do triângulo, a integral de linha pedida vale 9.

Resposta

9

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