(2,0) Calcule \int_{\gamma}-e^{x} \cos (y) d x+e^{x} \operatorname{sen}(y) d y, sendo \gamma uma poligonal de vértices A_{0}=(2,8), A_{1}=(-2,6), A_{2}=(2,2) e A_{3}=(3,4), orientada de A_{0} para A_{3}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma} -e^{x}\cos(y)\,dx + e^{x}\sin(y)\,dy
onde \gamma é a poligonal orientada de A_{0} para A_{3} com vértices
A_{0}=(2,8),\quad A_{1}=(-2,6),\quad A_{2}=(2,2),\quad A_{3}=(3,4).
Informações relevantes dadas:
P(x,y)=-e^{x}\cos(y),\qquad Q(x,y)=e^{x}\sin(y).
A orientação é de A_{0} até A_{3} passando por A_{1} e A_{2} nesta ordem.

Passo 2

Vamos verificar se o campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=(P,Q) é conservativo. Isso é útil porque, se for conservativo num domínio apropriado (aqui \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexo), a integral de linha independe do caminho e vale a diferença de uma função potencial entre extremos.
Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(-e^{x}\cos y\big)=-e^{x}(-\sin y)=e^{x}\sin y,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x}\sin y\big)=e^{x}\sin y.
Como \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} em todo \mathbb{R}^{2}, o campo é conservativo.
Explicação didática curta: um campo \mathbf{F}=(P,Q) é conservativo se existe f tal que \nabla f=\mathbf{F}, ou seja \partial f/\partial x=P e \partial f/\partial y=Q. Em regiões sem “buracos” (como \mathbb{R}^2) a condição \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x garante existência de f. Nesse caso a integral de linha entre dois pontos A e B vale f(B)-f(A).

Passo 3

Vamos achar a função potencial f(x,y) tal que
\frac{\partial f}{\partial x}=P(x,y)=-e^{x}\cos y.
Integramos em relação a x, tratando y como constante:
f(x,y)=\int -e^{x}\cos y \,dx = -e^{x}\cos y + g(y),
onde g(y) é uma função que depende só de y (constante de integração em relação a x).
Agora impomos a outra condição \partial f/\partial y = Q(x,y). Calcule:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(-e^{x}\cos y + g(y)\big)= -e^{x}(-\sin y)+g'(y)=e^{x}\sin y + g'(y).
Como isso deve ser igual a Q(x,y)=e^{x}\sin y, obtemos g'(y)=0. Portanto g(y) é constante, que podemos tomar 0 (a constante cancela na diferença).
Logo uma função potencial é
f(x,y)=-e^{x}\cos y.

Passo 4

Pelo fato do campo ser conservativo, a integral ao longo de \gamma depende só dos pontos inicial A_{0} e final A_{3}. Assim
\int_{\gamma} -e^{x}\cos(y)\,dx + e^{x}\sin(y)\,dy = f(A_{3})-f(A_{0}).
Calcule f nos pontos dados:
f(A_{3})=f(3,4)=-e^{3}\cos 4,
f(A_{0})=f(2,8)=-e^{2}\cos 8.

Passo 5

Portanto a integral é
f(A_{3})-f(A_{0}) = \big(-e^{3}\cos 4\big) - \big(-e^{2}\cos 8\big) = -e^{3}\cos 4 + e^{2}\cos 8.

Resposta

e^{2}\cos 8 - e^{3}\cos 4

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