Calcule
, sendo
uma poligonal de vértices
,
e
, orientada de
para
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é a poligonal orientada de
para
com vértices
Informações relevantes dadas:
A orientação é de
até
passando por
e
nesta ordem.
Passo 2
Vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Isso é útil porque, se for conservativo num domínio apropriado (aqui
, que é simplesmente conexo), a integral de linha independe do caminho e vale a diferença de uma função potencial entre extremos.
Calcule as derivadas parciais:
Como
em todo
, o campo é conservativo.
Explicação didática curta: um campo
é conservativo se existe
tal que
, ou seja
e
. Em regiões sem “buracos” (como
) a condição
garante existência de
. Nesse caso a integral de linha entre dois pontos
e
vale
.
Passo 3
Vamos achar a função potencial
tal que
Integramos em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função que depende só de
(constante de integração em relação a
).
Agora impomos a outra condição
. Calcule:
Como isso deve ser igual a
, obtemos
. Portanto
é constante, que podemos tomar
(a constante cancela na diferença).
Logo uma função potencial é
Passo 4
Pelo fato do campo ser conservativo, a integral ao longo de
depende só dos pontos inicial
e final
. Assim
Calcule
nos pontos dados:
Passo 5
Portanto a integral é