Calcule
\int_{\gamma} \operatorname{sen}(y z) d x+x z \cos (y z) d y+x y \cos (y z) d z, sendo \gamma a hélice x(t)=\cos t, y(t)=\operatorname{sen} t, z(t)=t para t \in\left[0, \frac{\pi}{4}\right].

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{\gamma}\bigl(\sin(yz)\,dx + xz\cos(yz)\,dy + xy\cos(yz)\,dz\bigr)
ao longo da hélice \gamma\colon x=\cos t,\;y=\sin t,\;z=t, t\in[0,\pi/4].
O conteúdo aqui é reconhecer que o integrando é uma 1-forma diferencial em \mathbb{R}^3 e verificar se ela é exata (ou seja, se é diferencial de algum potencial f). Se for exata, a integral ao longo da curva depende só dos valores de f nas extremidades.

Passo 2

Seja
P(x,y,z)=\sin(yz),\quad Q(x,y,z)=x\,z\cos(yz),\quad R(x,y,z)=x\,y\cos(yz).
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y} = z\cos(yz), \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} = z\cos(yz),
\frac{\partial P}{\partial z} = y\cos(yz), \qquad \frac{\partial R}{\partial x} = y\cos(yz),
\frac{\partial Q}{\partial z} = x\cos(yz)-x\,y\,z\sin(yz), \qquad \frac{\partial R}{\partial y} = x\cos(yz)-x\,y\,z\sin(yz).
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, \partial P/\partial z=\partial R/\partial x e \partial Q/\partial z=\partial R/\partial y, a forma é exata.

Passo 3

Procuramos f tal que df=P\,dx+Q\,dy+R\,dz.
Integrando \partial f/\partial x=P:
f(x,y,z)=x\sin(yz)+g(y,z).
Então
\frac{\partial f}{\partial y} = x\,z\cos(yz)+\frac{\partial g}{\partial y} \overset!=Q=x\,z\cos(yz) \;\Longrightarrow\; \frac{\partial g}{\partial y}=0 \;\Longrightarrow\;g=g(z).
E
\frac{\partial f}{\partial z} = x\,y\cos(yz)+g'(z) \overset!=R=x\,y\cos(yz) \;\Longrightarrow\; g'(z)=0 \;\Longrightarrow\; g=\text{const}.
Portanto podemos tomar
f(x,y,z)=x\sin(yz).

Passo 4

Basta avaliar f nas extremidades da hélice:
em t=0: (x,y,z)=(1,0,0);⇒;
f(1,0,0)=1\cdot\sin(0)=0.
em t=\pi/4: (x,y,z)=(\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\pi}{4});⇒;
yz=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi\sqrt2}{8}, \quad f=\frac{\sqrt2}{2}\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi\sqrt2}{8}\bigr).
Logo
\int_{\gamma}\!P\,dx+Q\,dy+R\,dz =f\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\pi}{4}\bigr) - f(1,0,0) =\frac{\sqrt2}{2}\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi\sqrt2}{8}\bigr).

Resposta

\frac{\sqrt2}{2}\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi\sqrt2}{8}\bigr).

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