Se vec{n}(x, y) é vetor unitário normal ao traço da curva gamma em ( x, y ), calcule int_{gamma} vec{F} \cdot vec{n} d s sendo
vec{F}(x, y)=x^{10} vec{i}+\left(3 x-10 x^{9} y\right) vec{j} e gamma a parte da circunferência x^{2}+y^{2}=1 contida no primeiro quadrante, vec{n} normal exterior à circunferência.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\int_{\gamma}\vec F\cdot\vec n\,ds
através do arco de círculo x^2+y^2=1 no 1.º quadrante, com \vec n apontando para fora do disco. Aqui \vec F(x,y)=x^{10}\,\mathbf i+(3x-10x^9y)\,\mathbf j. Vamos usar o Teorema de Green na forma de fluxo, fechando a curva com os eixos coordenados para aplicar \displaystyle\oint_{\partial D}\vec F\cdot\vec n\,ds=\iint_D\!\nabla\cdot\vec F\,dA, onde D é o disco de raio 1 no 1.º quadrante.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec F:
\nabla\cdot\vec F =\frac{\partial}{\partial x}(x^{10})+\frac{\partial}{\partial y}(3x-10x^9y) =10x^9-10x^9 =0.
Logo
\oint_{\partial D}\vec F\cdot\vec n\,ds =\iint_D0\,dA =0.

Passo 3

O contorno \partial D é composto de três partes:
  1. C_1: eixo x de (0,0) a (1,0),
  2. C_2: arco de círculo de (1,0) a (0,1) (é o nosso \gamma),
  3. C_3: eixo y de (0,1) a (0,0).
Da igualdade
\Phi_{C_1}+\Phi_{C_2}+\Phi_{C_3}=0
onde \Phi_{C_i}=\int_{C_i}\vec F\cdot\vec n\,ds, teremos
\Phi_{C_2} =-\bigl(\Phi_{C_1}+\Phi_{C_3}\bigr).

Passo 4

Fluxo pelo eixo x C_1: parametrização \mathbf r(t)=(t,0), t\in[0,1]. O normal exterior ao disco (acima do eixo) é \vec n=(0,-1). Em y=0 temos \vec F=(t^{10},3t), logo
\vec F\cdot\vec n =(t^{10},3t)\cdot(0,-1) =-3t.
E
\Phi_{C_1} =\int_{0}^{1}(-3t)\,dt =-\frac{3}{2}.
Fluxo pelo eixo y C_3: em x=0 vale \vec F=(0,0), logo
\Phi_{C_3}=0.

Passo 5

Assim
\Phi_{C_2} =-\bigl(-\tfrac32+0\bigr) =\frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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