Se
é vetor unitário normal ao traço da curva
em (
), calcule
sendo
e
a parte da circunferência
contida no primeiro quadrante,
normal exterior à circunferência.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
através do arco de círculo
no 1.º quadrante, com
apontando para fora do disco. Aqui
. Vamos usar o Teorema de Green na forma de fluxo, fechando a curva com os eixos coordenados para aplicar
, onde
é o disco de raio 1 no 1.º quadrante.
Passo 2
Calculamos a divergência de
:
Logo
Passo 3
O contorno
é composto de três partes:
-
: eixo de a , -
: arco de círculo de a (é o nosso ), -
: eixo de a .
Da igualdade
onde
, teremos
Passo 4
Fluxo pelo eixo
: parametrização
,
. O normal exterior ao disco (acima do eixo) é
. Em
temos
, logo
E
Fluxo pelo eixo
: em
vale
, logo
Passo 5
Assim