Para cada campo
encontre uma curva fechada simples
, tal que
. Podemos concluir que os campos não são conservativos?
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede que a gente ache uma curva fechada simples
tal que
e, a partir disso, conclua se
é conservativo. O conteúdo aqui é cálculo de linha em campos vetoriais e o teste de conservatividade via integral em circuito fechado.
Passo 2
Vamos escolher
como o quadrado de vértices
percorrido no sentido anti-horário. Dessa forma dividimos em quatro segmentos
.
percorrido no sentido anti-horário. Dessa forma dividimos
Passo 3
Segmento
. Aqui
,
,
vai de
a
,
Logo
Passo 4
Segmento
. Aqui
,
,
vai de
a
,
Logo
Passo 5
Segmento
. Aqui
,
,
vai de
a
,
Logo
Passo 6
Segmento
. Aqui
,
,
vai de
a
,
Logo
Passo 7
Somando todas as contribuições,
Passo 8
Como encontramos uma curva fechada simples
em que
, concluímos que
não é conservativo em
, pois um campo conservativo teria integral nula em todo circuito fechado.
Resposta
Escolhendo
como o quadrado de vértices
, tem-se
Logo
não é conservativo.