Calcule \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \gamma onde \vec{F}(x, y)=\left(4 x^{3} y^{3}+2 y, 3 x^{4} y^{2}-5 x-y^{3}\right) e \gamma é a circunferencia x^{2}+y^{2}=2 y orientada no sentido horario.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\gamma
onde
\vec F(x,y)=\bigl(4x^3y^3+2y,\;3x^4y^2-5x-y^3\bigr)
e \gamma é a circunferência x^2+y^2=2y orientada no sentido horário.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Green, ajustando o sinal para orientação não usual.

Passo 2

Primeiro, identificamos a região D limitada por \gamma.
Reescrevendo
x^2+y^2=2y\;\Longrightarrow\;x^2+(y-1)^2=1,
vemos que D é o disco de raio 1 centrado em (0,1). A orientação é horária, ou seja, oposta à positiva usada em Green.

Passo 3

Pelo Teorema de Green, para orientação positiva teríamos
\oint_{\partial D}\vec F\cdot d\gamma =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde P=4x^3y^3+2y e Q=3x^4y^2-5x-y^3. Calculamos:
\frac{\partial Q}{\partial x} =12x^3y^2-5, \quad \frac{\partial P}{\partial y} =12x^3y^2+2,
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\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =(12x^3y^2-5)-(12x^3y^2+2)=-7.

Passo 4

Como \gamma está orientada no sentido horário, o sinal se inverte:
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\gamma =-\iint_{D}(-7)\,dA =7\iint_{D}dA =7\cdot\bigl(\text{área de }D\bigr).á

Passo 5

O disco D tem raio 1, então \mathrm{Área}(D)=\pi\cdot1^2=\piÁ. Portanto
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\gamma =7\pi.

Resposta

7\pi

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