Calcule a integral.
\int_{0}^{5}\left(2 e^{x}+4 \cos x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{5}\bigl(2e^{x}+4\cos x\bigr)\,dx
O conteúdo envolvido é o uso da linearidade da integral e das antiderivadas das funções exponencial e cosseno.

Passo 2

Pela propriedade de linearidade da integral, separamos em duas:
\int_{0}^{5}\bigl(2e^{x}+4\cos x\bigr)\,dx =2\int_{0}^{5}e^{x}\,dx +4\int_{0}^{5}\cos x\,dx.

Passo 3

Sabemos que
\int e^{x}\,dx = e^{x}, \quad \int \cos x\,dx = \sin x.
Logo, uma primitiva comum é
F(x) = 2e^{x} + 4\sin x.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{5}\bigl(2e^{x}+4\cos x\bigr)\,dx =F(5)-F(0).
Calculando:
F(5)=2e^{5}+4\sin(5), \quad F(0)=2e^{0}+4\sin(0)=2\cdot1+0=2.

Resposta

2e^{5}+4\sin(5)-2

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