Questão 13: Dados os vetores \vec{u}=(6,-2,1) e \vec{v}=(2,-2,0), calcular:
(a) A área do paralelogramo determinado por \vec{u} e \vec{v}
(b) A altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(6,-2,1) e \vec{v}=(2,-2,0) e pede (a) a área do paralelogramo gerado por eles e (b) a altura relativa à base de comprimento \|\vec{v}\|. Para isso vamos usar:
– A área do paralelogramo é \|\vec{u}\times \vec{v}\|.
– A altura é dada por \displaystyle h=\frac{\text{área}}{\|\vec{v}\|}á.

Passo 2

Calcular o produto vetorial \vec{u}\times \vec{v} via determinante:
\vec{u}\times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 6 & -2 & 1 \\\\ 2 & -2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}\bigl((-2)\cdot0 - 1\cdot(-2)\bigr) - \mathbf{j}\bigl(6\cdot0 - 1\cdot2\bigr) + \mathbf{k}\bigl(6\cdot(-2) - (-2)\cdot2\bigr).
Fazendo as contas de cada componente, obtemos
\vec{u}\times \vec{v}=(2,\,2,\,-8).

Passo 3

Agora calculamos a magnitude de \vec{u}\times \vec{v}, que é a área do paralelogramo:
\|\vec{u}\times \vec{v}\| =\sqrt{2^2 + 2^2 + (-8)^2} =\sqrt{4+4+64} =\sqrt{72} =6\sqrt{2}.

Passo 4

Em seguida calculamos o comprimento da base \vec{v}:
\|\vec{v}\| =\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 0^2} =\sqrt{4+4} =\sqrt{8} =2\sqrt{2}.

Passo 5

Por fim, a altura relativa à base \vec{v} é
h = \frac{\text{área}}{\|\vec{v}\|} = \frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} =3.á

Resposta

(a) 6\sqrt{2}
(b) 3

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