Calcule a integral Y. 2
\int_{\beta}\left(y e^{x}+1\right) d x+e^{x} d y
onde \beta é a curva parametrizada \beta(t)=(\cos t, 2 \sin t), onde t \in\left[0, \frac{\pi}{4}\right].

Passo 1

O problema pede a integral de linha da 1-forma
\omega = \bigl(y e^{x} + 1\bigr)\,dx + e^{x}\,dy
ao longo da curva \beta(t)=(\cos t,\,2\sin t), t\in[0,\pi/4].
Este é um caso clássico de integral de 1-forma em que podemos verificar se \omega é exata e, em caso afirmativo, usar uma função potencial para simplificar o cálculo.

Passo 2

Para ver se \omega é exata, escrevemos
M(x,y)=y e^{x}+1, \quad N(x,y)=e^{x}
e conferimos se
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y e^{x}+1\bigr) =e^{x}, \quad \frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\bigr) =e^{x}.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, concluímos que \omega é exata num domínio simplesmente conectado (todo \mathbb{R}^2).

Passo 3

Procuramos então uma função F(x,y) tal que
dF = \frac{\partial F}{\partial x}\,dx + \frac{\partial F}{\partial y}\,dy = M\,dx + N\,dy.
Integramos M em x:
F(x,y)=\int (y e^{x}+1)\,dx =y e^{x} + x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” a determinar. Diferenciando em relação a y,
\frac{\partial F}{\partial y} =e^{x} + h'(y) \stackrel{!}{=}N(x,y)=e^{x} \;\Longrightarrow\; h'(y)=0 \;\Longrightarrow\; h(y)=C.
Podemos tomar C=0. Logo
F(x,y)=y e^{x} + x.

Passo 4

Pela fórmula da integral de forma exata, temos
\int_{\beta}\omega =F\bigl(\beta(\tfrac{\pi}{4})\bigr)-F\bigl(\beta(0)\bigr).
Calculamos os extremos:
\beta(0)=(\cos0,2\sin0)=(1,0), \quad \beta\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},\,2\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) =\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},\,\sqrt2\Bigr).

Passo 5

Avalia-mos F nos pontos:
F\bigl(1,0\bigr) =0\cdot e^{1} + 1 = 1, \quad F\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},\,\sqrt2\Bigr) =\sqrt2\,e^{\,\tfrac{\sqrt2}{2}} +\tfrac{\sqrt2}{2}.
Portanto
\int_{\beta}\omega =\Bigl(\sqrt2\,e^{\,\tfrac{\sqrt2}{2}}+\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr)-1 =\sqrt2\,e^{\,\tfrac{\sqrt2}{2}} +\frac{\sqrt2}{2}-1.

Resposta

\boxed{\sqrt2\,e^{\tfrac{\sqrt2}{2}} \;+\;\frac{\sqrt2}{2}\;-\;1.}

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