Calcule a integral Y. 2
onde
é a curva parametrizada
, onde
.
Passo 1
O problema pede a integral de linha da 1-forma
ao longo da curva
,
.
Este é um caso clássico de integral de 1-forma em que podemos verificar se é exata e, em caso afirmativo, usar uma função potencial para simplificar o cálculo.
Este é um caso clássico de integral de 1-forma em que podemos verificar se
Passo 2
Para ver se
é exata, escrevemos
e conferimos se
Como
, concluímos que
é exata num domínio simplesmente conectado (todo
).
Passo 3
Procuramos então uma função
tal que
Integramos
em
:
onde
é uma “constante” a determinar. Diferenciando em relação a
,
Podemos tomar
. Logo
Passo 4
Pela fórmula da integral de forma exata, temos
Calculamos os extremos:
Passo 5
Avalia-mos
nos pontos:
Portanto