Foram coletadas amostras de tamanho
de um processo de manufatura onde o característico de interesse tem distribuição normal. Após a coleta de 50 amostras, foram calculados as médias e os desvios-padrões. Obteve-se
e
.
a) Determine os limites do gráfico de controle
;
b) Suponha que todos os pontos em ambos os gráficos de controle caiam entre os limites de controle. Quais são os limites de tolerância natural do processo?
c) se o processo tem especificações de
, qual a porcentagem de perdas?
d) determine Cp .
e) Se o processo estivesse centrado em
, qual seria o efeito sobre as percentagens de perdas?
a) Determine os limites do gráfico de controle
b) Suponha que todos os pontos em ambos os gráficos de controle caiam entre os limites de controle. Quais são os limites de tolerância natural do processo?
c) se o processo tem especificações de
d) determine Cp .
e) Se o processo estivesse centrado em
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede várias coisas:
- Tamanho de cada amostra:
. - Foram coletadas
amostras. - Soma das médias amostrais:
. - Soma dos desvios-padrões amostrais:
.
Perguntas:
a) Determinar os limites do gráfico de controle.
b) Supondo que todos os pontos em ambos os gráficos caiam entre os limites, quais são os limites de tolerância natural do processo?
c) Se o processo tem especificações, qual a porcentagem de perdas (fora de especificação)?
d) Determinar.
e) Se o processo estivesse centrado em, qual seria o efeito sobre as percentagens de perdas?
Passo 2
Calcular os valores básicos que vamos usar em todas as partes:
- Média das médias amostrais (média global):
- Média dos desvios-padrões amostrais:
Vou usar esses dois números como estimativas de posição e dispersão do processo.
Passo 3
Explicar a fórmula do gráfico
e o que é necessário calcular:
- Para o gráfico
quando se usa como estimador da variabilidade, os limites de controle são
- O fator
relaciona o desvio padrão estimado por com a variabilidade da média amostral; pode ser expresso por
onde
é o fator de correção (viés) para o estimador
(isto é,
).
- A fórmula exata de
é
onde
é a função Gama. Vou calcular
para
.
Passo 4
Calcular
para
:
- Para
temos . - E
. Usando a relação . - Então
Portanto
.
Passo 5
Calcular
e os limites do gráfico
:
- Primeiro
. Com e ,
- A meia-janela dos limites é
:
- Logo os limites são
Passo 6
Responder (a) com os valores arredondados e comentar brevemente:
- Os limites do gráfico
são aproximadamente
Passo 7
Determinar as tolerâncias naturais do processo (b):
- A tolerância natural do processo é tipicamente
. Como não conhecemos verdadeiro, estimamos por
- Logo os limites naturais são
ou seja aproximadamente
Passo 8
Calcular a porcentagem de perdas quando as especificações são
(c):
- As especificações dão
e . - Assumimos processo com média estimada
e desvio padrão . Calculamos as probabilidades fora dos limites: -
. -
.
-
- Usando a tabela da normal padrão (ou calculadora):
-
(aprox. ). -
(aprox. ).
-
- Soma das perdas:
Passo 9
Calcular
(d):
- Definição:
. Aqui usamos como estimativa. - Com
, e ,
Passo 10
Efeito de centrar o processo em
sobre as perdas (e):
- Se
e , então simetria em relação às especificações e aparece (distância de para cada lado). - Z correspondente:
portanto cada cauda tem probabilidade
. Usando a tabela,
- Perdas totais =
. - Conclusão qualitativa: ao centrar o processo em
(exatamente no centro das especificações) as perdas caem de cerca de para cerca de . Ou seja, centralizar reduz significativamente perdas porque peças que antes estavam mais perto do limite superior (quando a média era ) passam a ficar mais simetricamente dentro dos limites.
Resposta
(a)
(b) Limites naturais
(c) Percentual de perdas .
(d)
(e) Se , as perdas passam para
(queda de
para
).
(b) Limites naturais
(c) Percentual de perdas
(d)
(e) Se