Foram coletadas amostras de tamanho n=6 de um processo de manufatura onde o característico de interesse tem distribuição normal. Após a coleta de 50 amostras, foram calculados as médias e os desvios-padrões. Obteve-se \sum \bar{x}=1000 e \sum s=75.
a) Determine os limites do gráfico de controle \bar{x}-\mathrm{s};
b) Suponha que todos os pontos em ambos os gráficos de controle caiam entre os limites de controle. Quais são os limites de tolerância natural do processo?
c) se o processo tem especificações de 19,0 \pm 4, qual a porcentagem de perdas?
d) determine Cp .
e) Se o processo estivesse centrado em \mu=19, qual seria o efeito sobre as percentagens de perdas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede várias coisas:
  • Tamanho de cada amostra: n=6.
  • Foram coletadas 50 amostras.
  • Soma das médias amostrais: \sum \bar{x}=1000.
  • Soma dos desvios-padrões amostrais: \sum s=75.
    Perguntas:
    a) Determinar os limites do gráfico de controle \bar{x}\!-\!s.
    b) Supondo que todos os pontos em ambos os gráficos caiam entre os limites, quais são os limites de tolerância natural do processo?
    c) Se o processo tem especificações 19,0\pm4, qual a porcentagem de perdas (fora de especificação)?
    d) Determinar C_p.
    e) Se o processo estivesse centrado em \mu=19, qual seria o efeito sobre as percentagens de perdas?

Passo 2

Calcular os valores básicos que vamos usar em todas as partes:
  • Média das médias amostrais (média global):
\bar{\bar{x}}=\frac{\sum \bar{x}}{50}=\frac{1000}{50}=20.
  • Média dos desvios-padrões amostrais:
\bar{s}=\frac{\sum s}{50}=\frac{75}{50}=1{,}5.
Vou usar esses dois números como estimativas de posição e dispersão do processo.

Passo 3

Explicar a fórmula do gráfico \bar{x}\!-\!s e o que é necessário calcular:
  • Para o gráfico \bar{x} quando se usa s como estimador da variabilidade, os limites de controle são
\text{UCL}_{\bar{x}}=\bar{\bar{x}}+A_3\,\bar{s},\qquad \text{LCL}_{\bar{x}}=\bar{\bar{x}}-A_3\,\bar{s}.
  • O fator A_3 relaciona o desvio padrão estimado por \bar{s} com a variabilidade da média amostral; pode ser expresso por
A_3=\frac{3}{c_4\sqrt{n}},
onde c_4 é o fator de correção (viés) para o estimador s (isto é, \mathbb{E}(s)=c_4\sigma).
  • A fórmula exata de c_4 é
c_4=\sqrt{\frac{2}{n-1}}\;\frac{\Gamma\!\left(\tfrac{n}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\tfrac{n-1}{2}\right)},
onde \Gamma é a função Gama. Vou calcular c_4 para n=6.

Passo 4

Calcular c_4 para n=6:
  • Para n=6 temos \Gamma\!\left(\tfrac{n}{2}\right)=\Gamma(3)=2!\;=\;2.
  • E \Gamma\!\left(\tfrac{n-1}{2}\right)=\Gamma(2{,}5). Usando a relação \Gamma(2{,}5)=1{,}5\cdot0{,}5\sqrt{\pi}=0{,}75\sqrt{\pi}\approx1{,}32934.
  • Então
c_4=\sqrt{\frac{2}{5}}\;\frac{2}{1{,}32934} =\;0{,}6324555\cdot1{,}504556\approx0{,}95136.
Portanto c_4\approx0{,}95136.

Passo 5

Calcular A_3 e os limites do gráfico \bar{x}:
  • Primeiro A_3=\dfrac{3}{c_4\sqrt{n}}. Com c_4\approx0{,}95136 e \sqrt{n}=\sqrt{6}\approx2{,}44949,
A_3\approx\frac{3}{0{,}95136\cdot2{,}44949}\approx\frac{3}{2{,}3310}\approx1{,}287.
  • A meia-janela dos limites é A_3\bar{s}:
A_3\bar{s}\approx1{,}287\cdot1{,}5\approx1{,}9305.
  • Logo os limites são
\text{UCL}_{\bar{x}}=20+1{,}9305\approx21{,}9305, \qquad \text{LCL}_{\bar{x}}=20-1{,}9305\approx18{,}0695.

Passo 6

Responder (a) com os valores arredondados e comentar brevemente:
  • Os limites do gráfico \bar{x}\!-\!s são aproximadamente
\text{UCL}_{\bar{x}}\approx21{,}93,\qquad \text{LCL}_{\bar{x}}\approx18{,}07.

Passo 7

Determinar as tolerâncias naturais do processo (b):
  • A tolerância natural do processo é tipicamente \mu\pm3\sigma. Como não conhecemos \sigma verdadeiro, estimamos por
\hat{\sigma}=\frac{\bar{s}}{c_4}=\frac{1{,}5}{0{,}95136}\approx1{,}5772.
  • Logo os limites naturais são
\bar{\bar{x}}\pm3\hat{\sigma}=20\pm3\cdot1{,}5772=20\pm4{,}7316,
ou seja aproximadamente
[15{,}268,\;24{,}732].

Passo 8

Calcular a porcentagem de perdas quando as especificações são 19{,}0\pm4 (c):
  • As especificações dão \text{LSL}=19{,}0-4=15{,}0 e \text{USL}=19{,}0+4=23{,}0.
  • Assumimos processo com média estimada \mu=\bar{\bar{x}}=20 e desvio padrão \hat{\sigma}\approx1{,}5772. Calculamos as probabilidades fora dos limites:
    • P(X<15)=P\!\Big(Z<\dfrac{15-20}{1{,}5772}\Big)=P(Z<-3{,}169).
    • P(X>23)=P\!\Big(Z>\dfrac{23-20}{1{,}5772}\Big)=P(Z>1{,}902).
  • Usando a tabela da normal padrão (ou calculadora):
    • P(Z<-3{,}169)\approx0{,}00076 (aprox. 0{,}076\%).
    • P(Z>1{,}902)=1-P(Z\le1{,}902)\approx1-0{,}9714=0{,}0286 (aprox. 2{,}86\%).
  • Soma das perdas:
\text{Perdas}\approx0{,}00076+0{,}0286\approx0{,}02936\equiv2{,}936\%\approx2{,}94\%.

Passo 9

Calcular C_p (d):
  • Definição: C_p=\dfrac{\text{USL}-\text{LSL}}{6\sigma}. Aqui usamos \hat{\sigma} como estimativa.
  • Com \text{USL}=23, \text{LSL}=15 e \hat{\sigma}\approx1{,}5772,
C_p=\frac{23-15}{6\cdot1{,}5772}=\frac{8}{9{,}4632}\approx0{,}8457\approx0{,}846.

Passo 10

Efeito de centrar o processo em \mu=19 sobre as perdas (e):
  • Se \mu=19 e \sigma=\hat{\sigma}\approx1{,}5772, então simetria em relação às especificações 15 e 23 aparece (distância de 4 para cada lado).
  • Z correspondente:
z=\frac{15-19}{1{,}5772}=\frac{-4}{1{,}5772}\approx-2{,}537,
portanto cada cauda tem probabilidade P(Z<-2{,}537). Usando a tabela,
P(Z<-2{,}537)\approx0{,}00555\quad(\text{cada cauda}).
  • Perdas totais = 2\cdot0{,}00555\approx0{,}0111\equiv1{,}11\%.
  • Conclusão qualitativa: ao centrar o processo em 19 (exatamente no centro das especificações) as perdas caem de cerca de 2{,}94\% para cerca de 1{,}11\%. Ou seja, centralizar reduz significativamente perdas porque peças que antes estavam mais perto do limite superior (quando a média era 20) passam a ficar mais simetricamente dentro dos limites.

Resposta

(a) \text{UCL}_{\bar{x}}\approx21{,}93,\quad \text{LCL}_{\bar{x}}\approx18{,}07.
(b) Limites naturais \approx[15{,}268,\;24{,}732].
(c) Percentual de perdas \approx2{,}94\%.
(d) C_p\approx0{,}846.
(e) Se \mu=19, as perdas passam para \approx1{,}11\% (queda de \approx2{,}94\% para \approx1{,}11\%).

Exercícios relacionados