O monitoramento de uma característica da qualidade usa gráficos \bar{x} e s. Os gráficos são baseados em valores de referência \mu=100 e desvio padrão \sigma=8, com \mathrm{n}=4.
a) Calcule os limites dois-sigma para o gráfico da média;
b) Ache a linha central e os limites de controle para o gráfico \bar{x} de modo que a probabilidade do erro tipo I seja 0,05 .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular os limites “dois-sigma” para o gráfico da média \bar{x}.
  2. Achar a linha central e os limites de controle para o gráfico \bar{x} de modo que a probabilidade do erro tipo I seja 0,05.
Informações dadas (que vamos usar em todos os cálculos):
\mu = 100,\qquad \sigma = 8,\qquad n = 4.

Passo 2

Entendendo o que usamos para o gráfico da média: quando tiramos amostras de tamanho n com média da população \mu e desvio padrão da população \sigma, a média amostral \bar{X} tem média e desvio padrão dados por
\mathbb{E}(\bar{X})=\mu
e
\mathrm{SD}(\bar{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Explicação: \mathbb{E}(\bar{X}) é o valor esperado (média) da média amostral — ela centra em \mu. \mathrm{SD}(\bar{X}) é o desvio padrão da média amostral, que é menor que \sigma porque estamos “suavizando” variabilidade ao fazer médias de n observações. Aqui cada símbolo significa:
  • \mu: média da população (valor de referência dado);
  • \sigma: desvio padrão da população (dado);
  • n: tamanho da amostra (dado);
  • \mathrm{SD}(\bar{X}): erro padrão da média (desvio padrão da média amostral).
Calculemos o erro padrão da média com os números:
\mathrm{SD}(\bar{X})=\frac{8}{\sqrt{4}}=\frac{8}{2}=4.

Passo 3

Parte (a): “Limites dois-sigma” para o gráfico da média significa usar a linha central em \mu e limites em \mu \pm 2\cdot\mathrm{SD}(\bar{X}).
Fórmula dos limites dois-sigma:
\text{LCL}=\mu - 2\cdot\mathrm{SD}(\bar{X}),\qquad \text{UCL}=\mu + 2\cdot\mathrm{SD}(\bar{X}).
Substituindo \mu=100 e \mathrm{SD}(\bar{X})=4:
\text{LCL}=100-2\cdot4=100-8=92,
\text{UCL}=100+2\cdot4=100+8=108.
Interpretação rápida: se a média amostral sair fora de [92,108] isso indica um desvio de mais de “dois erros-padrão” da média de referência.

Passo 4

Parte (b): queremos limites de controle para \bar{x} tais que a probabilidade do erro tipo I (falso alarme) seja 0,05. Isso significa que, quando o processo está em controle (ou seja, \bar{X} tem média \mu), a probabilidade de que \bar{X} caia fora dos limites é 0,05.
Como os limites são simétricos em torno de \mu, cada cauda terá probabilidade \frac{0,05}{2}=0,025. Para uma distribuição normal padrão Z, queremos o valor z tal que
P(|Z|>z)=0,05 \quad\Longrightarrow\quad P(Z>z)=0,025.
O quantil correspondente é z_{1-0,025}=z_{0,975}. Esse valor, conhecido da tabela da normal padrão, é aproximadamente 1,96. (Explicação: tabelas ou calculadoras dão que P(Z\le 1{,}96)=0{,}975.)

Passo 5

Agora construímos os limites usando z=1{,}96 e o erro padrão \mathrm{SD}(\bar{X})=4. A linha central (CL) é \mu.
Fórmulas:
\text{CL}=\mu,
\text{LCL}=\mu - z\cdot\mathrm{SD}(\bar{X}),
\text{UCL}=\mu + z\cdot\mathrm{SD}(\bar{X}).
Substituindo números:
\text{CL}=100,
\text{LCL}=100-1{,}96\cdot4=100-7{,}84=92{,}16,
\text{UCL}=100+1{,}96\cdot4=100+7{,}84=107{,}84.
Comentário prático: esses limites garantem que, se o processo estiver realmente centrado em \mu=100, a probabilidade de um falso alarme (média amostral fora dos limites) seja 0{,}05.

Resposta

(a) Limites dois-sigma: LCL = 92, UCL = 108.
(b) Linha central e limites com \alpha=0{,}05: CL = 100, LCL = 92{,}16, UCL = 107{,}84.

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