O monitoramento de uma característica da qualidade usa gráficos
e s. Os gráficos são baseados em valores de referência
e desvio padrão
, com
.
a) Calcule os limites dois-sigma para o gráfico da média;
b) Ache a linha central e os limites de controle para o gráfico
de modo que a probabilidade do erro tipo I seja 0,05 .
a) Calcule os limites dois-sigma para o gráfico da média;
b) Ache a linha central e os limites de controle para o gráfico
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular os limites “dois-sigma” para o gráfico da média
. - Achar a linha central e os limites de controle para o gráfico
de modo que a probabilidade do erro tipo I seja .
Informações dadas (que vamos usar em todos os cálculos):
Passo 2
Entendendo o que usamos para o gráfico da média: quando tiramos amostras de tamanho
com média da população
e desvio padrão da população
, a média amostral
tem média e desvio padrão dados por
e
Explicação:
é o valor esperado (média) da média amostral — ela centra em
.
é o desvio padrão da média amostral, que é menor que
porque estamos “suavizando” variabilidade ao fazer médias de
observações. Aqui cada símbolo significa:
-
: média da população (valor de referência dado); -
: desvio padrão da população (dado); -
: tamanho da amostra (dado); -
: erro padrão da média (desvio padrão da média amostral).
Calculemos o erro padrão da média com os números:
Passo 3
Parte (a): “Limites dois-sigma” para o gráfico da média significa usar a linha central em
e limites em
.
Fórmula dos limites dois-sigma:
Substituindo
e
:
Interpretação rápida: se a média amostral sair fora de
isso indica um desvio de mais de “dois erros-padrão” da média de referência.
Passo 4
Parte (b): queremos limites de controle para
tais que a probabilidade do erro tipo I (falso alarme) seja
. Isso significa que, quando o processo está em controle (ou seja,
tem média
), a probabilidade de que
caia fora dos limites é
.
Como os limites são simétricos em torno de
, cada cauda terá probabilidade
. Para uma distribuição normal padrão
, queremos o valor
tal que
O quantil correspondente é
. Esse valor, conhecido da tabela da normal padrão, é aproximadamente
. (Explicação: tabelas ou calculadoras dão que
.)
Passo 5
Agora construímos os limites usando
e o erro padrão
. A linha central (CL) é
.
Fórmulas:
Substituindo números:
Comentário prático: esses limites garantem que, se o processo estiver realmente centrado em
, a probabilidade de um falso alarme (média amostral fora dos limites) seja
.
Resposta
(a) Limites dois-sigma: LCL =
, UCL =
.
(b) Linha central e limites com
: CL =
, LCL =
, UCL =
.