Calcule \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \gamma, sendo dados
\vec{F}(x, y)=x^{2} \vec{i}+(x-y) \vec{j} e \gamma(t)=(t, \operatorname{sen} t), 0 \leqslant t \leqslant \pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \int_{\gamma} \vec{F}\cdot d\gamma. As informações dadas são:
\vec{F}(x,y)=x^{2}\,\vec{i}+(x-y)\,\vec{j}.
\gamma(t)=(t,\sin t) com 0\le t\le \pi.
A pergunta é: qual é o valor numérico de \displaystyle\int_{\gamma} \vec{F}\cdot d\gamma?

Passo 2

Regra que vamos usar (explicação didática): a integral de linha de um campo vetorial \vec{F}=(P,Q) ao longo de uma curva parametrizada \gamma(t)=(x(t),y(t)), a\le t\le b, é dada por
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\gamma=\int_{a}^{b}\vec{F}(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\,dt.
Aqui:
  • \vec{F}(\gamma(t)) significa substituir x=x(t) e y=y(t) em \vec{F}.
  • \gamma'(t)=(x'(t),y'(t)) é a velocidade da curva.
  • O ponto representa o produto escalar usual entre dois vetores em \mathbb{R}^2.
    Essa fórmula transforma a integral de linha numa integral simples em t. Bom, agora aplicamos isso.

Passo 3

Calculemos \gamma'(t) e \vec{F}(\gamma(t)).
Derivando a parametrização:
\gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\cos t).
Substituindo \gamma(t)=(t,\sin t) em \vec{F}:
\vec{F}(\gamma(t))=\big(t^{2},\,t-\sin t\big).

Passo 4

Fazendo o produto escalar \vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t):
\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)=t^{2}\cdot 1+(t-\sin t)\cdot \cos t = t^{2}+t\cos t-\sin t\cos t.
Portanto a integral fica
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\gamma=\int_{0}^{\pi}\big(t^{2}+t\cos t-\sin t\cos t\big)\,dt.

Passo 5

Vamos separar a integral em três partes e resolver uma a uma:
\int_{0}^{\pi} t^{2}\,dt,\qquad \int_{0}^{\pi} t\cos t\,dt,\qquad \int_{0}^{\pi} -\sin t\cos t\,dt.
Primeira parte (muito direto):
\int_{0}^{\pi} t^{2}\,dt=\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\pi^{3}}{3}.

Passo 6

Segunda parte: \displaystyle\int_{0}^{\pi} t\cos t\,dt. Usamos integração por partes (vou explicar passo a passo).
Fórmula de partes: \displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolha prática: u=t (porque sua derivada é simples) e dv=\cos t\,dt.
Então du=dt e v=\sin t.
Aplicando:
\int t\cos t\,dt = t\sin t - \int \sin t\,dt = t\sin t +\cos t + C,
pois \int \sin t\,dt = -\cos t e o sinal vira +\cos t.
Agora avaliamos de 0 a \pi:
\left[t\sin t + \cos t\right]_{0}^{\pi}=(\pi\sin\pi+\cos\pi)-(0\cdot\sin0+\cos0)= (0-1)-(0+1)=-2.

Passo 7

Terceira parte: \displaystyle\int_{0}^{\pi} -\sin t\cos t\,dt.
Usamos a identidade trigonométrica \sin 2t = 2\sin t\cos t, logo \sin t\cos t=\tfrac{1}{2}\sin 2t.
Então
\int_{0}^{\pi} -\sin t\cos t\,dt = -\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin 2t\,dt.
Integramos \sin 2t: \displaystyle\int \sin 2t\,dt = -\frac{1}{2}\cos 2t.
Portanto
-\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin 2t\,dt = -\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos 2t\right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{4}\big(\cos 2t\big)\Big|_{0}^{\pi}.
Calculando \cos 2\pi=1 e \cos 0=1, temos
\frac{1}{4}(1-1)=0.

Passo 8

Somando as três partes:
\int_{0}^{\pi} t^{2}\,dt + \int_{0}^{\pi} t\cos t\,dt + \int_{0}^{\pi} -\sin t\cos t\,dt = \frac{\pi^{3}}{3} + (-2) + 0.
Logo o valor da integral de linha é \displaystyle \frac{\pi^{3}}{3}-2.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi^{3}}{3}-2

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