seja vec{v}(\vec{r}) o campo de velocidades de unn flyido. Define-se a circulação de vec{v} ao longo de una curva fechada G como \Gamma=\oint_{G} \vec{v} \cdot d \vec{r}. A circulaçõó una medidà da tendêncía de flevida de circular ao longo de G. Calcule a circulação de vec{v} ao lango da curva C em cada um dos seguintes casos:
vec{v}(x, y)=(2 x, y) ; \vec{G} : triângula de vértices A(0,0), B(1,0) e C(0,1), percerrido no sentido anti-horário;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a circulação \Gamma=\oint_{C}\vec{v}\cdot d\vec{r} do campo de velocidades \vec{v} ao longo da curva fechada C. As informações dadas são:
\vec{v}(x,y) = (2x,\,y).
A curva C é o triângulo com vértices A(0,0), B(1,0) e C(0,1), percorrido no sentido anti-horário (ou seja, orientação positiva).
Nada mais é pedido além da circulação ao longo de C.

Passo 2

Vou usar uma ferramenta que simplifica muito esse tipo de integral: o Teorema de Green (para integrais de linha no plano). Vou explicar passo a passo o que ele diz e por que funciona.
Enunciado do Teorema de Green (forma usada aqui). Suponha que C seja uma curva simples, fechada e suave, orientada positivamente (anti-horário) que delimita uma região D no plano, e que P(x,y) e Q(x,y) tenham derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de D. Então
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Interpretação prática: a integral de linha que dá a circulação ao longo da fronteira C é igual à integral dupla do “rotacional escalar” \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} sobre a região interna D. Isso costuma ser muito mais fácil porque reduz uma integral de linha em três trechos (no caso do triângulo) a uma única integral dupla sobre uma região simples.
Ligação com nosso problema: para o campo \vec{v}=(2x,y) identificamos P(x,y)=2x e Q(x,y)=y. A orientação anti-horária é precisamente a orientação positiva exigida pelo teorema.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando do Teorema de Green.
Aqui
P(x,y)=2x,\qquad Q(x,y)=y.
Calculamos
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(y)=0,
porque ao derivar y em relação a x tratamos y como constante (dependência nula de x). E
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2x)=0,
porque 2x não depende de y. Logo o “rotacional escalar” é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0-0=0.
Expliquei: cada derivada parcial foi feita mantendo a outra variável fixa; por isso ambas deram zero.

Passo 4

Agora aplico o Teorema de Green: a circulação é a integral dupla de 0 sobre a região D (o interior do triângulo). Precisamos só descrever D para ver os limites de integração.
A região D é o triângulo com vértices (0,0),(1,0),(0,1). Podemos descrever D por
D=\{(x,y)\mid x\ge 0,\; y\ge 0,\; x+y\le 1\}.
Escolhendo integrar primeiro em x e depois em y, os limites são y de 0 a 1 e, para cada y, x de 0 a 1-y. Assim a integral dupla é
\iint_{D} 0\,dA = \int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1-y} 0\,dx\,dy.

Passo 5

Avaliação da integral:
\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1-y} 0\,dx\,dy = \int_{y=0}^{1} \left( 0 \right) dy = 0.
Como o integrando é identicamente zero, a integral sobre qualquer região finita é zero. Portanto a circulação calculada por Green é zero.

Passo 6

(sugestão didática / verificação alternativa) Quero também mostrar como verificar o resultado fazendo a integral de linha diretamente, parametizando cada aresta do triângulo — isso é útil para entender a definição e praticar parametrização.
A aresta AB: vai de A(0,0) a B(1,0). Parametrização \vec{r}_1(t)=(t,0), t\in[0,1]. Então \vec{r}_1'(t)=(1,0) e
\vec{v}(\vec{r}_1(t))=(2t,0).
Produto escalar
\vec{v}\cdot\vec{r}_1' = (2t,0)\cdot(1,0)=2t.
Integral em AB:
\int_{0}^{1} 2t\,dt = \left[t^{2}\right]_{0}^{1}=1.
A aresta BC: vai de B(1,0) a C(0,1). Parametrização \vec{r}_2(t)=(1-t,t), t\in[0,1]. Então \vec{r}_2'(t)=(-1,1) e
\vec{v}(\vec{r}_2(t))=(2(1-t),\,t).
Produto escalar
\vec{v}\cdot\vec{r}_2' = (2(1-t),t)\cdot(-1,1) = -2(1-t)+t = -2+2t+t = -2+3t.
Integral em BC:
\int_{0}^{1}(-2+3t)\,dt = \left[-2t+\tfrac{3}{2}t^{2}\right]_{0}^{1} = -2+\tfrac{3}{2} = -\tfrac{1}{2}.
A aresta CA: vai de C(0,1) a A(0,0). Parametrização \vec{r}_3(t)=(0,1-t), t\in[0,1]. Então \vec{r}_3'(t)=(0,-1) e
\vec{v}(\vec{r}_3(t))=(0,\,1-t).
Produto escalar
\vec{v}\cdot\vec{r}_3' = (0,1-t)\cdot(0,-1) = -(1-t).
Integral em CA:
\int_{0}^{1}-(1-t)\,dt = \left[-t+\tfrac{1}{2}t^{2}\right]_{0}^{1} = -1+\tfrac{1}{2} = -\tfrac{1}{2}.
Somando as três contribuições:
1 + \left(-\tfrac{1}{2}\right) + \left(-\tfrac{1}{2}\right) = 0,
confirmando a avaliação por Green. Essa checagem por parametrização mostra também como aplicar a definição diretamente na prova, caso não lembre do Teorema de Green.

Resposta

0

Exercícios relacionados