seja
o campo de velocidades de unn flyido. Define-se a circulação de
ao longo de una curva fechada
como
. A circulaçõó una medidà da tendêncía de flevida de circular ao longo de
. Calcule a circulação de
ao lango da curva C em cada um dos seguintes casos:
: triângula de vértices
e
, percerrido no sentido anti-horário;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a circulação
do campo de velocidades
ao longo da curva fechada
. As informações dadas são:
A curva
é o triângulo com vértices
,
e
, percorrido no sentido anti-horário (ou seja, orientação positiva).
Nada mais é pedido além da circulação ao longo de .
Nada mais é pedido além da circulação ao longo de
Passo 2
Vou usar uma ferramenta que simplifica muito esse tipo de integral: o Teorema de Green (para integrais de linha no plano). Vou explicar passo a passo o que ele diz e por que funciona.
Enunciado do Teorema de Green (forma usada aqui). Suponha que
seja uma curva simples, fechada e suave, orientada positivamente (anti-horário) que delimita uma região
no plano, e que
e
tenham derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de
. Então
Interpretação prática: a integral de linha que dá a circulação ao longo da fronteira
é igual à integral dupla do “rotacional escalar”
sobre a região interna
. Isso costuma ser muito mais fácil porque reduz uma integral de linha em três trechos (no caso do triângulo) a uma única integral dupla sobre uma região simples.
Ligação com nosso problema: para o campo
identificamos
e
. A orientação anti-horária é precisamente a orientação positiva exigida pelo teorema.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando do Teorema de Green.
Aqui
Calculamos
porque ao derivar
em relação a
tratamos
como constante (dependência nula de
). E
porque
não depende de
. Logo o “rotacional escalar” é
Expliquei: cada derivada parcial foi feita mantendo a outra variável fixa; por isso ambas deram zero.
Passo 4
Agora aplico o Teorema de Green: a circulação é a integral dupla de
sobre a região
(o interior do triângulo). Precisamos só descrever
para ver os limites de integração.
A região
é o triângulo com vértices
. Podemos descrever
por
Escolhendo integrar primeiro em
e depois em
, os limites são
de
a
e, para cada
,
de
a
. Assim a integral dupla é
Passo 5
Avaliação da integral:
Como o integrando é identicamente zero, a integral sobre qualquer região finita é zero. Portanto a circulação calculada por Green é zero.
Passo 6
(sugestão didática / verificação alternativa) Quero também mostrar como verificar o resultado fazendo a integral de linha diretamente, parametizando cada aresta do triângulo — isso é útil para entender a definição e praticar parametrização.
A aresta
: vai de
a
. Parametrização
,
. Então
e
Produto escalar
Integral em
:
A aresta
: vai de
a
. Parametrização
,
. Então
e
Produto escalar
Integral em
:
A aresta
: vai de
a
. Parametrização
,
. Então
e
Produto escalar
Integral em
:
Somando as três contribuições:
confirmando a avaliação por Green. Essa checagem por parametrização mostra também como aplicar a definição diretamente na prova, caso não lembre do Teorema de Green.
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