Considere
. Sjam
e
. Dediza que:
;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma demonstração clara do resultado:
- Temos o vetor posição
definido por . - Define-se
e . - É pedido demonstrar que
para
e com a condição
.
Dados úteis que aparecem no enunciado (que vamos usar):
e assumimos
para que todas as expressões estejam bem definidas.
Passo 2
Lembrete sobre o operador gradiente e a regra da cadeia (passo-passo didático):
- O operador gradiente em coordenadas cartesianas é
Isto significa que para qualquer função escalar
temos
- Regra da cadeia (caso que vamos usar): se
com , então
Vou aplicar exatamente isso com
ou, equivalentemente, pensar em
.
Passo 3
Calcular explicitamente a derivada parcial em relação a
. Escrevemos
Defina
. Então
. Aplicando a regra da cadeia:
Como
, substituindo obtemos
Agora usamos
, logo
Portanto
Passo 4
Pelo mesmo cálculo (simetria nas coordenadas) obtemos as outras componentes:
Passo 5
Agora montamos o gradiente juntando as componentes:
Fatorando
obtemos
que é exatamente o resultado pedido.
Passo 6
Comentário útil e alternativa curta (intuição): podemos também ver
com
. Então pela regra da cadeia para funções compostas em várias variáveis:
E como é conhecido (ou facilmente verificado) que
temos
, mesma conclusão. Note que todas as manipulações exigem
.