Considere vec{r} \in \mathbb{R}^{3}, \vec{r}=x \hat{\imath}+y \hat{\jmath}+z \hat{k}. Sjam r=\|\vec{r}\| e \hat{r}=\frac{\vec{r}}{r}. Dediza que:
vec{\nabla} r^{\alpha}=\alpha r^{\alpha-2} \vec{r}, \alpha \in \mathbb{R}, \vec{r} \neq \overrightarrow{0};

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma demonstração clara do resultado:
  • Temos o vetor posição \vec{r}\in\mathbb{R}^3 definido por \vec{r}=x\hat{\imath}+y\hat{\jmath}+z\hat{k}.
  • Define-se r=\|\vec{r}\| e \hat{r}=\dfrac{\vec{r}}{r}.
  • É pedido demonstrar que
\vec{\nabla} r^{\alpha}=\alpha r^{\alpha-2}\vec{r},
para \alpha\in\mathbb{R} e com a condição \vec{r}\neq\overrightarrow{0}.
Dados úteis que aparecem no enunciado (que vamos usar): r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} e assumimos r\neq 0 para que todas as expressões estejam bem definidas.

Passo 2

Lembrete sobre o operador gradiente e a regra da cadeia (passo-passo didático):
  • O operador gradiente em coordenadas cartesianas é
\vec{\nabla}=\hat{\imath}\frac{\partial}{\partial x}+\hat{\jmath}\frac{\partial}{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial}{\partial z}.
Isto significa que para qualquer função escalar F(x,y,z) temos
\vec{\nabla}F=\hat{\imath}\frac{\partial F}{\partial x}+\hat{\jmath}\frac{\partial F}{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial F}{\partial z}.
  • Regra da cadeia (caso que vamos usar): se F(u)=u^{\beta} com u=u(x,y,z), então
\frac{\partial}{\partial x}F(u(x,y,z))=F'(u)\frac{\partial u}{\partial x}=\beta u^{\beta-1}\frac{\partial u}{\partial x}.
Vou aplicar exatamente isso com u=x^{2}+y^{2}+z^{2} ou, equivalentemente, pensar em r^{\alpha}=(r^{2})^{\alpha/2}.

Passo 3

Calcular explicitamente a derivada parcial em relação a x. Escrevemos
r^{\alpha}=\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{\alpha/2}.
Defina u(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}. Então r^{\alpha}=u^{\alpha/2}. Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}r^{\alpha}=\frac{\alpha}{2}u^{\frac{\alpha}{2}-1}\frac{\partial u}{\partial x}.
Como \dfrac{\partial u}{\partial x}=2x, substituindo obtemos
\frac{\partial}{\partial x}r^{\alpha}=\frac{\alpha}{2}u^{\frac{\alpha}{2}-1}\cdot 2x=\alpha x\,u^{\frac{\alpha}{2}-1}.
Agora usamos u=r^{2}, logo
u^{\frac{\alpha}{2}-1}=(r^{2})^{\frac{\alpha}{2}-1}=r^{\alpha-2}.
Portanto
\frac{\partial}{\partial x}r^{\alpha}=\alpha x\,r^{\alpha-2}.

Passo 4

Pelo mesmo cálculo (simetria nas coordenadas) obtemos as outras componentes:
\frac{\partial}{\partial y}r^{\alpha}=\alpha y\,r^{\alpha-2},\qquad \frac{\partial}{\partial z}r^{\alpha}=\alpha z\,r^{\alpha-2}.

Passo 5

Agora montamos o gradiente juntando as componentes:
\vec{\nabla}r^{\alpha}=\hat{\imath}\frac{\partial r^{\alpha}}{\partial x}+\hat{\jmath}\frac{\partial r^{\alpha}}{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial r^{\alpha}}{\partial z} =\hat{\imath}\bigl(\alpha x r^{\alpha-2}\bigr)+\hat{\jmath}\bigl(\alpha y r^{\alpha-2}\bigr)+\hat{k}\bigl(\alpha z r^{\alpha-2}\bigr).
Fatorando \alpha r^{\alpha-2} obtemos
\vec{\nabla}r^{\alpha}=\alpha r^{\alpha-2}\bigl(x\hat{\imath}+y\hat{\jmath}+z\hat{k}\bigr)=\alpha r^{\alpha-2}\vec{r},
que é exatamente o resultado pedido.

Passo 6

Comentário útil e alternativa curta (intuição): podemos também ver r^{\alpha}=f(r) com f(s)=s^{\alpha}. Então pela regra da cadeia para funções compostas em várias variáveis:
\vec{\nabla}r^{\alpha}=f'(r)\,\vec{\nabla}r=\alpha r^{\alpha-1}\vec{\nabla}r.
E como é conhecido (ou facilmente verificado) que
\vec{\nabla}r=\frac{\vec{r}}{r},
temos \vec{\nabla}r^{\alpha}=\alpha r^{\alpha-1}\frac{\vec{r}}{r}=\alpha r^{\alpha-2}\vec{r}, mesma conclusão. Note que todas as manipulações exigem r\neq 0.

Resposta

\vec{\nabla} r^{\alpha}=\alpha r^{\alpha-2}\vec{r}

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