Calcule \int_{\gamma} \vec{F} d \vec{r}, sendo dados:
\vec{F}(x, y, z)=(x, y, z) e \gamma(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t, t), \quad t \in[0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral de linha
\int_{\gamma} \vec{F}\,d\vec{r}
onde são dados
\vec{F}(x,y,z)=(x,y,z)
e
\gamma(t)=(\cos t,\;\operatorname{sen} t,\;t),\qquad t\in[0,2\pi].
Informações relevantes listadas:
\vec{F}\\ \text{(vetor campo)}=(x,y,z),
\gamma(t)\\ \text{(parametrização da curva)}=(\cos t,\;\operatorname{sen} t,\;t),çã
\text{intervalo do parâmetro: } t\in[0,2\pi].â
A tarefa é calcular a integral de linha do campo \vec{F} ao longo da curva \gamma.

Passo 2

Apresento a fórmula que usamos para integrar um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada. Se \vec{F} é um campo vetorial e \gamma(t) é uma parametrização suave em t\in[a,b], então
\int_{\gamma}\vec{F}\,d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,dt.
Explicando cada parte:
  • \vec{F}(\gamma(t)) é o campo avaliado no ponto da curva para cada t.
  • \gamma'(t) é a derivada da parametrização; ela representa o vetor tangente (velocidade) da curva.
  • O ponto \cdot é o produto escalar entre dois vetores em \mathbb{R}^3.
  • O termo diferencial d\vec{r} é representado por \gamma'(t)\,dt.
    Vou aplicar exatamente essa fórmula com a=0 e b=2\pi.

Passo 3

Calculo a derivada da parametrização \gamma(t). Dado
\gamma(t)=(\cos t,\;\operatorname{sen} t,\;t),
derivando componente a componente (regra básica: \tfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t, \tfrac{d}{dt}\sin t=\cos t, \tfrac{d}{dt}t=1) obtemos
\gamma'(t)=(-\sin t,\;\cos t,\;1).

Passo 4

Agora avalio o campo \vec{F} ao longo da curva, ou seja \vec{F}(\gamma(t)). Como \vec{F}(x,y,z)=(x,y,z), substituo x=\cos t,\\ y=\operatorname{sen} t,\\ z=t:
\vec{F}(\gamma(t))=(\cos t,\;\operatorname{sen} t,\;t).

Passo 5

Faço o produto escalar \vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t). Lembre que o produto escalar em \mathbb{R}^3 entre (a_1,a_2,a_3) e (b_1,b_2,b_3) é a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3. Aqui:
\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)=\cos t\cdot(-\sin t)+\operatorname{sen} t\cdot\cos t+t\cdot 1.
Simplificando os dois primeiros termos (eles se cancelam):
\cos t(-\sin t)+\operatorname{sen} t\cos t= -\cos t\sin t+\sin t\cos t=0.
Portanto
\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)=t.

Passo 6

Agora integro no intervalo t\in[0,2\pi]:
\int_{\gamma}\vec{F}\,d\vec{r}=\int_{0}^{2\pi} t\,dt.
Calculo a integral elementar:
\int_{0}^{2\pi} t\,dt=\left.\frac{t^{2}}{2}\right|_{0}^{2\pi}=\frac{(2\pi)^{2}}{2}-0=\frac{4\pi^{2}}{2}=2\pi^{2}.

Resposta

\;2\pi^{2}

Exercícios relacionados