Calcule
, sendo dados:
e
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral de linha
onde são dados
e
Informações relevantes listadas:
A tarefa é calcular a integral de linha do campo
ao longo da curva
.
Passo 2
Apresento a fórmula que usamos para integrar um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada. Se
é um campo vetorial e
é uma parametrização suave em
, então
Explicando cada parte:
-
é o campo avaliado no ponto da curva para cada . -
é a derivada da parametrização; ela representa o vetor tangente (velocidade) da curva. - O ponto
é o produto escalar entre dois vetores em . - O termo diferencial
é representado por .
Vou aplicar exatamente essa fórmula come .
Passo 3
Calculo a derivada da parametrização
. Dado
derivando componente a componente (regra básica:
,
,
) obtemos
Passo 4
Agora avalio o campo
ao longo da curva, ou seja
. Como
, substituo
:
Passo 5
Faço o produto escalar
. Lembre que o produto escalar em
entre
e
é
. Aqui:
Simplificando os dois primeiros termos (eles se cancelam):
Portanto
Passo 6
Agora integro no intervalo
:
Calculo a integral elementar: