Calcule \int_{\gamma} \vec{F} d \vec{r}, sendo dados:
\vec{F}(x, y)=\left(x^{2}, x-y\right) e \gamma(t)=(t, \operatorname{sen} t), \quad t \in[0, \pi].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \int_{\gamma} \vec{F}\,d\vec{r} onde são dadas as informações seguintes:
\vec{F}(x,y)=\bigl(x^{2},\,x-y\bigr)
\gamma(t)=\bigl(t,\;\sin t\bigr),\qquad t\in[0,\pi].
Ou seja: a curva \gamma está parametrizada por t de 0 a \pi; a força (campo vetorial) \vec{F} tem primeira componente x^{2} e segunda componente x-y. A pergunta é calcular o valor numérico de \displaystyle\int_{\gamma}\vec{F}\,d\vec{r}.

Passo 2

Vamos usar a definição prática da integral de linha para campos vetoriais: se \gamma(t)=(x(t),y(t)) e \vec{F}(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)), então
\int_{\gamma}\vec{F}\,d\vec{r}=\int_{a}^{b}\bigl(P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)\bigr)\,dt.
Explicando devagar: x(t) e y(t) são as componentes da parametrização; x'(t) e y'(t) são as derivadas em relação a t; P e Q são as componentes do campo. A expressão dentro da integral é o produto escalar \vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t).

Passo 3

Identificamos as componentes da parametrização \gamma:
x(t)=t,\qquad y(t)=\sin t.
Derivando em t obtemos
x'(t)=1,\qquad y'(t)=\cos t.

Passo 4

Calculamos o campo \vec{F} avaliado ao longo da curva \gamma(t):
\vec{F}(\gamma(t))=\bigl(x(t)^{2},\,x(t)-y(t)\bigr)=\bigl(t^{2},\,t-\sin t\bigr).

Passo 5

Formamos o produto escalar \vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t):
\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)=t^{2}\cdot 1+(t-\sin t)\cdot\cos t=t^{2}+t\cos t-\sin t\cos t.
Portanto a integral de linha vira uma integral de função de uma variável:
\int_{\gamma}\vec{F}\,d\vec{r}=\int_{0}^{\pi}\bigl(t^{2}+t\cos t-\sin t\cos t\bigr)\,dt.

Passo 6

Vamos calcular a integral termo a termo. Primeiro
\int_{0}^{\pi}t^{2}\,dt=\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\pi^{3}}{3}.
Aqui usei a regra básica da antiderivada de t^{2}: antiderivada é \tfrac{t^{3}}{3}.

Passo 7

Agora \displaystyle\int_{0}^{\pi}t\cos t\,dt. Usamos integração por partes. Lembrete rápido da fórmula: para funções u(t) e v'(t),
\int u\,v' \,dt = u v - \int u' v\,dt.
Escolhemos u=t (então u'=1) e v'=\cos t (então v=\sin t). Aplicando:
\int t\cos t\,dt = t\sin t - \int 1\cdot\sin t\,dt = t\sin t + \cos t + C,
pois \int \sin t\,dt = -\cos t. Avaliando de 0 a \pi:
\left[t\sin t + \cos t\right]_{0}^{\pi} = \bigl(\pi\sin\pi + \cos\pi\bigr)-\bigl(0\cdot\sin0+\cos0\bigr) = (0-1)-(0+1)=-2.

Passo 8

Falta \displaystyle\int_{0}^{\pi}-\sin t\cos t\,dt. Observe que
\sin t\cos t=\tfrac{1}{2}\sin(2t)
ou mais simples, note que a derivada de \sin^{2}t é 2\sin t\cos t. Então
\int \sin t\cos t\,dt=\tfrac{1}{2}\sin^{2}t + C,
e assim
\int_{0}^{\pi}-\sin t\cos t\,dt = -\tfrac{1}{2}\left[\sin^{2}t\right]_{0}^{\pi} = -\tfrac{1}{2}\bigl(\sin^{2}\pi-\sin^{2}0\bigr)= -\tfrac{1}{2}(0-0)=0.

Passo 9

Somando todos os termos:
\int_{\gamma}\vec{F}\,d\vec{r}=\frac{\pi^{3}}{3} + (-2) + 0 = \frac{\pi^{3}}{3}-2.
Isso é o valor da integral de linha pedida. Boa! Você aguentou o processo e usou derivada, produto escalar e integração por partes — tudo passo a passo.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi^{3}}{3}-2

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