Calcule
, sendo dados:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde são dadas as informações seguintes:
Ou seja: a curva
está parametrizada por
de
a
; a força (campo vetorial)
tem primeira componente
e segunda componente
. A pergunta é calcular o valor numérico de
.
Passo 2
Vamos usar a definição prática da integral de linha para campos vetoriais: se
e
, então
Explicando devagar:
e
são as componentes da parametrização;
e
são as derivadas em relação a
;
e
são as componentes do campo. A expressão dentro da integral é o produto escalar
.
Passo 3
Identificamos as componentes da parametrização
:
Derivando em
obtemos
Passo 4
Calculamos o campo
avaliado ao longo da curva
:
Passo 5
Formamos o produto escalar
:
Portanto a integral de linha vira uma integral de função de uma variável:
Passo 6
Vamos calcular a integral termo a termo. Primeiro
Aqui usei a regra básica da antiderivada de
: antiderivada é
.
Passo 7
Agora
. Usamos integração por partes. Lembrete rápido da fórmula: para funções
e
,
Escolhemos
(então
) e
(então
). Aplicando:
pois
. Avaliando de
a
:
Passo 8
Falta
. Observe que
ou mais simples, note que a derivada de
é
. Então
e assim
Passo 9
Somando todos os termos:
Isso é o valor da integral de linha pedida. Boa! Você aguentou o processo e usou derivada, produto escalar e integração por partes — tudo passo a passo.