Seja V(x, y)=x^{2}+y^{2}.
Desenhe um campo \vec{F}(x, y) satisfazendo \nabla V(x, y) \cdot \vec{F}(x, y) \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para desenhar (isto é, dar um exemplo de) um campo vetorial \vec{F}(x,y) que satisfaça a desigualdade
\nabla V(x,y)\cdot \vec{F}(x,y) \leq 0
onde foi dada a função V(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Informações relevantes dadas:
  • V(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • A condição exigida é \nabla V(x,y)\cdot \vec{F}(x,y)\leq 0.
  • Não há mais restrições sobre \vec{F}: podemos escolher qualquer campo vetorial que satisfaça a desigualdade.

Passo 2

Calcular \nabla V(x,y) (o gradiente de V) passo a passo e entender o que ele representa.
Definição: o gradiente de uma função escalar V(x,y) é o vetor das derivadas parciais, ou seja,
\nabla V(x,y)=\left(\frac{\partial V}{\partial x},\frac{\partial V}{\partial y}\right).
Aplicando a definição a V(x,y)=x^{2}+y^{2} temos
\frac{\partial V}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial V}{\partial y}=2y.
Logo,
\nabla V(x,y)=(2x,2y).
Intuição rápida: \nabla V aponta na direção de maior aumento de V. Aqui aponta radialmente para fora (direção do vetor (x,y)) e sua magnitude cresce com a distância ao origem.

Passo 3

Escrever explicitamente a condição \nabla V\cdot\vec{F}\leq 0 usando o gradiente encontrado.
Se escrevermos \vec{F}(x,y)=(F_1(x,y),F_2(x,y)), então
\nabla V\cdot\vec{F}=(2x,2y)\cdot(F_1,F_2)=2xF_1(x,y)+2yF_2(x,y).
A condição pedida é, portanto,
2xF_1(x,y)+2yF_2(x,y)\leq 0
para todos (x,y). Podemos dividir por 2 e escrever a condição equivalente
xF_1(x,y)+yF_2(x,y)\leq 0.
Interpretação geométrica: o produto escalar entre (x,y) e (F_1,F_2) deve ser não-positivo; isto significa que, em cada ponto, a componente de \vec{F} na direção radial (x,y) deve ser apontando para dentro (ou ser ortogonal), nunca apontando para fora.

Passo 4

Construir um exemplo simples e verificar a desigualdade passo a passo.
Um palpite natural (bem simples) é escolher \vec{F} apontando radialmente para dentro, por exemplo
\vec{F}(x,y)=-(x,y)=(-x,-y).
Vamos verificar:
\nabla V\cdot\vec{F}=(2x,2y)\cdot(-x,-y)=2x(-x)+2y(-y)=-2(x^{2}+y^{2}).
Como x^{2}+y^{2}\ge 0, temos -2(x^{2}+y^{2})\le 0. Portanto essa \vec{F} satisfaz a condição em todos os pontos. Observação: em (0,0) o produto é zero.

Passo 5

Dar outra opção equivalente e relacioná-la com \nabla V.
Outra escolha ainda muito natural é tomar \vec{F}=-\nabla V. Como \nabla V=(2x,2y), temos
\vec{F}(x,y)=-\nabla V(x,y)=(-2x,-2y).
Verificação:
\nabla V\cdot\vec{F}=(2x,2y)\cdot(-2x,-2y)=-4(x^{2}+y^{2})\le 0.
Esta é apenas uma versão “mais forte” (maior em magnitude) da opção anterior; também satisfaz a desigualdade e é um caso muito usado quando V é uma função de Lyapunov (seta para baixo no gráfico de V).

Passo 6

Mostrar um caso com produto escalar nulo (igualdade) — campo puramente rotacional — e combinar ideias.
Considere o campo rotacional (ortogonal ao radial)
\vec{F}(x,y)=(-y,x).
Cálculo:
\nabla V\cdot\vec{F}=(2x,2y)\cdot(-y,x)=2x(-y)+2y(x)=0.
Ou seja, aqui a desigualdade também é satisfeita (é igual a zero). Geometricamente, esse campo gira ao redor da origem (fluxo circular), nunca tem componente radial, então não aumenta nem diminui V.
Agora podemos combinar os dois tipos: um termo radial entrando e um termo rotacional. Considere
\vec{F}(x,y)=-\alpha(x,y)+\beta(-y,x)
com \alpha\ge 0 (constante) e \beta qualquer (real). Então
\nabla V\cdot\vec{F}= (2x,2y)\cdot\big(-\alpha(x,y)+\beta(-y,x)\big) = -2\alpha(x^{2}+y^{2}) + 0.
Portanto, sempre que \alpha\ge 0 temos \nabla V\cdot\vec{F}\le 0. Isso mostra que existe uma família grande de campos que funcionam: qualquer combinação de um termo radial entrando (com coeficiente não-negativo) e um termo rotacional qualquer atende à condição.

Passo 7

Explicar como desenhar (esboçar) esses campos no plano — instruções práticas para a prova.
Como desenhar \vec{F}(x,y)=-(x,y):
  • Em cada ponto (x,y) desenhe uma seta que aponta para o centro (origem).
  • O comprimento da seta costuma ser proporcional a \sqrt{x^{2}+y^{2}} (aqui é exatamente r), então quanto mais longe do origem, maior a seta.
  • Exemplos de pontos: em (1,0) a seta é (-1,0) (aponta para a esquerda); em (0,1) a seta é (0,-1) (para baixo); em (1,1) a seta é (-1,-1) (diagonal para o origem).
Como desenhar \vec{F}(x,y)=(-y,x):
  • Em cada ponto desenhe uma seta tangente à circunferência centrada na origem (campo circular).
  • Exemplos: em (1,0) a seta é (0,1) (para cima); em (0,1) é (-1,0) (para a esquerda).
Como desenhar a combinação -\alpha(x,y)+\beta(-y,x):
  • A seta resultante é soma vetorial: tem uma componente radial para dentro (se \alpha>0) e uma componente tangencial (girar) dada por \beta.
  • No esboço, combine as direções e comprimentos correspondentes; se \alpha domina, o campo é principalmente radial entrante com uma leve rotação.

Passo 8

Observações finais, interpretação física e dicas para a prova.
  • A desigualdade \nabla V\cdot\vec{F}\le 0 significa que seguindo o fluxo de \vec{F} a função V não aumenta; frequentemente isso indica que as trajetórias não sobem o “potencial” V.
  • Para a prova: escolha a opção mais simples que prove a condição (por exemplo \vec{F}=-(x,y) ou \vec{F}=-\nabla V), calcule o produto escalar e mostre que é \le 0. Esboce algumas setas em pontos-chave para demonstrar que você sabe desenhar o campo.
  • Não esqueça de comentar o caso da igualdade ( =0) em pontos singulares (por exemplo (0,0)), e que campos com componente rotacional pura dão produto nulo.

Resposta

\vec{F}(x,y)=-(x,y)=(-x,-y) \
\vec{F}(x,y)=-\nabla V(x,y)=(-2x,-2y) \
\vec{F}(x,y)=-\alpha(x,y)+\beta(-y,x) com \alpha\ge 0 e \beta\in\mathbb{R}

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