Seja
.
Desenhe um campo
satisfazendo
Passo 1
O enunciado pede para desenhar (isto é, dar um exemplo de) um campo vetorial
que satisfaça a desigualdade
onde foi dada a função
.
Informações relevantes dadas:
-
. - A condição exigida é
. - Não há mais restrições sobre
: podemos escolher qualquer campo vetorial que satisfaça a desigualdade.
Passo 2
Calcular
(o gradiente de
) passo a passo e entender o que ele representa.
Definição: o gradiente de uma função escalar
é o vetor das derivadas parciais, ou seja,
Aplicando a definição a
temos
Logo,
Intuição rápida:
aponta na direção de maior aumento de
. Aqui aponta radialmente para fora (direção do vetor
) e sua magnitude cresce com a distância ao origem.
Passo 3
Escrever explicitamente a condição
usando o gradiente encontrado.
Se escrevermos
, então
A condição pedida é, portanto,
para todos
. Podemos dividir por
e escrever a condição equivalente
Interpretação geométrica: o produto escalar entre
e
deve ser não-positivo; isto significa que, em cada ponto, a componente de
na direção radial
deve ser apontando para dentro (ou ser ortogonal), nunca apontando para fora.
Passo 4
Construir um exemplo simples e verificar a desigualdade passo a passo.
Um palpite natural (bem simples) é escolher
apontando radialmente para dentro, por exemplo
Vamos verificar:
Como
, temos
. Portanto essa
satisfaz a condição em todos os pontos. Observação: em
o produto é zero.
Passo 5
Dar outra opção equivalente e relacioná-la com
.
Outra escolha ainda muito natural é tomar
. Como
, temos
Verificação:
Esta é apenas uma versão “mais forte” (maior em magnitude) da opção anterior; também satisfaz a desigualdade e é um caso muito usado quando
é uma função de Lyapunov (seta para baixo no gráfico de
).
Passo 6
Mostrar um caso com produto escalar nulo (igualdade) — campo puramente rotacional — e combinar ideias.
Considere o campo rotacional (ortogonal ao radial)
Cálculo:
Ou seja, aqui a desigualdade também é satisfeita (é igual a zero). Geometricamente, esse campo gira ao redor da origem (fluxo circular), nunca tem componente radial, então não aumenta nem diminui
.
Agora podemos combinar os dois tipos: um termo radial entrando e um termo rotacional. Considere
com
(constante) e
qualquer (real). Então
Portanto, sempre que
temos
. Isso mostra que existe uma família grande de campos que funcionam: qualquer combinação de um termo radial entrando (com coeficiente não-negativo) e um termo rotacional qualquer atende à condição.
Passo 7
Explicar como desenhar (esboçar) esses campos no plano — instruções práticas para a prova.
Como desenhar
:
- Em cada ponto
desenhe uma seta que aponta para o centro (origem). - O comprimento da seta costuma ser proporcional a
(aqui é exatamente ), então quanto mais longe do origem, maior a seta. - Exemplos de pontos: em
a seta é (aponta para a esquerda); em a seta é (para baixo); em a seta é (diagonal para o origem).
Como desenhar
:
- Em cada ponto desenhe uma seta tangente à circunferência centrada na origem (campo circular).
- Exemplos: em
a seta é (para cima); em é (para a esquerda).
Como desenhar a combinação
:
- A seta resultante é soma vetorial: tem uma componente radial para dentro (se
) e uma componente tangencial (girar) dada por . - No esboço, combine as direções e comprimentos correspondentes; se
domina, o campo é principalmente radial entrante com uma leve rotação.
Passo 8
Observações finais, interpretação física e dicas para a prova.
- A desigualdade
significa que seguindo o fluxo de a função não aumenta; frequentemente isso indica que as trajetórias não sobem o “potencial” . - Para a prova: escolha a opção mais simples que prove a condição (por exemplo
ou ), calcule o produto escalar e mostre que é . Esboce algumas setas em pontos-chave para demonstrar que você sabe desenhar o campo. - Não esqueça de comentar o caso da igualdade (
) em pontos singulares (por exemplo ), e que campos com componente rotacional pura dão produto nulo.