Seja \vec{F}=\nabla f, onde f(x, y, z)=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right). Desenhe \vec{F}(x, y, z) \operatorname{com} x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 ; x>0, y>0, z>0

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x,y,z)=\tfrac{1}{2}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\, e define o campo vetorial como \,\vec{F}=\nabla f\,. Pede-se para desenhar \vec{F}(x,y,z) sobre a superfície \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\, restrita ao primeiro octante ( x>0,\;y>0,\;z>0).
Informações relevantes que temos:
  • A superfície é a esfera de raio 2.
  • Só consideramos os pontos da esfera com as três coordenadas estritamente positivas (primeiro octante).
  • Precisamos representar o campo vetorial nesses pontos da superfície.

Passo 2

Vamos calcular \nabla f passo a passo (aqui é onde você aprende o conceito): o gradiente de uma função escalar \,f(x,y,z)\, é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f em relação a x, y e z. Ou seja,
\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Agora derivamos \,f(x,y,z)=\tfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\, componente a componente:
\frac{\partial f}{\partial x} = \tfrac{1}{2}\cdot 2x = x, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = y, \qquad \frac{\partial f}{\partial z} = z.

Passo 3

Concluímos então que, para quaisquer (x,y,z),
\vec{F}(x,y,z)=\nabla f(x,y,z)=(x,y,z).
Isto é muito intuitivo: o campo vetorial é exatamente o vetor posição \mathbf{r}=(x,y,z). Sempre que você vir f=\tfrac{1}{2}r^{2} (onde r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}), o gradiente dá esse resultado.

Passo 4

Agora imponha a condição da esfera \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\,. No pontos dessa esfera temos r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=2. O módulo de \vec{F} em qualquer ponto da esfera é
\|\vec{F}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=2.
Ou seja: todos os vetores do campo sobre essa esfera têm o mesmo comprimento, igual a 2.

Passo 5

Direção dos vetores: como \vec{F}(x,y,z)=(x,y,z), cada vetor em um ponto da esfera aponta na mesma direção do vetor posição — isto é, radialmente para fora, perpendicular (normal) à superfície da esfera naquele ponto. Portanto, sobre a esfera de raio 2 os vetores são normais à superfície e apontam para fora.

Passo 6

Como só queremos o primeiro octante ( x>0,\;y>0,\;z>0), os vetores estarão todos apontando para a região de coordenadas positivas. Exemplos concretos (para você colocar no desenho e checar):
  • No ponto (1,1,\sqrt{2}) (observe que 1^{2}+1^{2}+(\sqrt{2})^{2}=4) o vetor é (1,1,\sqrt{2}). Se o vetor for desenhado com a base no ponto, a ponta ficará em (2,2,2\sqrt{2}).
  • No ponto (\sqrt{2},1,1) o vetor é (\sqrt{2},1,1) com comprimento 2.
    Esses exemplos mostram a regra: direção radial e comprimento constante 2.

Passo 7

Instruções práticas para desenhar (faça assim no papel — passo a passo):
  1. Desenhe os eixos coordenados x, y, z em perspectiva e marque o primeiro octante (só a parte com x,y,z>0).
  2. Desenhe o arco da esfera de raio 2 no primeiro octante — visualmente será um “triângulo curvo” (uma fatia da esfera). Marque alguns pontos na superfície dentro desse octante, por exemplo os dois exemplos dados acima.
  3. Em cada ponto marcado, desenhe uma seta que segue exatamente a direção do raio (do centro da esfera para o ponto) e com comprimento igual a 2. Como o vetor é igual à posição, se você desenhar a seta com origem no ponto (x,y,z) a ponta ficará em (2x,2y,2z).
  4. Repita para várias posições dentro do octante — verá que todas as setas são paralelas aos raios e têm o mesmo comprimento.

Passo 8

Interpretação final e dica de prova: sempre que você tiver f=\tfrac{1}{2}r^{2}, lembre que \nabla f=\mathbf{r}. Em superfícies esféricas (fixo r) o campo resultante será radial com módulo constante igual a r. Isso economiza tempo na prova: você não precisa fazer contas longas, basta reconhecer a forma de f.

Resposta

\vec{F}(x,y,z)=(x,y,z).\nSobre x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 com x>0,\;y>0,\;z>0 os vetores são radiais, apontam para fora (normais à esfera) e têm módulo constante igual a 2.

Exercícios relacionados