Seja
, onde
. Desenhe
Passo 1
O enunciado dá a função
e define o campo vetorial como
. Pede-se para desenhar
sobre a superfície
restrita ao primeiro octante (
).
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A superfície é a esfera de raio
. - Só consideramos os pontos da esfera com as três coordenadas estritamente positivas (primeiro octante).
- Precisamos representar o campo vetorial nesses pontos da superfície.
Passo 2
Vamos calcular
passo a passo (aqui é onde você aprende o conceito): o gradiente de uma função escalar
é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Ou seja,
Agora derivamos
componente a componente:
Passo 3
Concluímos então que, para quaisquer
,
Isto é muito intuitivo: o campo vetorial é exatamente o vetor posição
. Sempre que você vir
(onde
), o gradiente dá esse resultado.
Passo 4
Agora imponha a condição da esfera
. No pontos dessa esfera temos
. O módulo de
em qualquer ponto da esfera é
Ou seja: todos os vetores do campo sobre essa esfera têm o mesmo comprimento, igual a
.
Passo 5
Direção dos vetores: como
, cada vetor em um ponto da esfera aponta na mesma direção do vetor posição — isto é, radialmente para fora, perpendicular (normal) à superfície da esfera naquele ponto. Portanto, sobre a esfera de raio
os vetores são normais à superfície e apontam para fora.
Passo 6
Como só queremos o primeiro octante (
), os vetores estarão todos apontando para a região de coordenadas positivas. Exemplos concretos (para você colocar no desenho e checar):
- No ponto
(observe que ) o vetor é . Se o vetor for desenhado com a base no ponto, a ponta ficará em . - No ponto
o vetor é com comprimento .
Esses exemplos mostram a regra: direção radial e comprimento constante.
Passo 7
Instruções práticas para desenhar (faça assim no papel — passo a passo):
- Desenhe os eixos coordenados
, , em perspectiva e marque o primeiro octante (só a parte com ). - Desenhe o arco da esfera de raio
no primeiro octante — visualmente será um “triângulo curvo” (uma fatia da esfera). Marque alguns pontos na superfície dentro desse octante, por exemplo os dois exemplos dados acima. - Em cada ponto marcado, desenhe uma seta que segue exatamente a direção do raio (do centro da esfera para o ponto) e com comprimento igual a
. Como o vetor é igual à posição, se você desenhar a seta com origem no ponto a ponta ficará em . - Repita para várias posições dentro do octante — verá que todas as setas são paralelas aos raios e têm o mesmo comprimento.
Passo 8
Interpretação final e dica de prova: sempre que você tiver
, lembre que
. Em superfícies esféricas (fixo
) o campo resultante será radial com módulo constante igual a
. Isso economiza tempo na prova: você não precisa fazer contas longas, basta reconhecer a forma de
.