Calcule
, sendo dados:
e
.
Passo 1
O problema pede para calcular a integral de linha (trabalho) da campo vetorial
ao longo da curva
. Dados do enunciado que vamos usar:
A pergunta explícita é: calcular
.
Passo 2
Primeiro, a fórmula que nos permite transformar a integral de linha em uma integral em
(esta é a ideia fundamental que você precisa levar para a prova):
onde:
-
é a parametrização da curva (aqui , ); -
é a derivada componente a componente de ; -
é o campo avaliado na parametrização; - o produto
é o produto escalar usual em .
Esta fórmula vem da substituição
. Pense assim: a cada pequeno passo
a posição muda
, e a contribuição do campo é a componente na direção desse passo, dada pelo produto escalar.
Passo 3
Calculemos
. Derivada componente a componente de
:
- derivada de
é , - derivada de
é , - derivada de
é .
Portanto,
(Derivar vetor significa derivar cada coordenada separadamente — nada de mistério.)
Passo 4
Agora avaliamos o campo
na curva, ou seja, substituímos
,
,
em
:
(Expliquei a substituição: elevar ao quadrado cada componente da parametrização.)
Passo 5
Calcule o produto escalar
. Produto escalar em
é soma dos produtos das coordenadas correspondentes:
Multiplicando os coeficientes:
(Usei
conforme o enunciado para manter a consistência; você pode ler como
.)
Passo 6
Portanto a integral que queremos é
Vamos separar em três integrais mais simples:
Então
.
Passo 7
Calcule
. Use substituição
. Então
, logo
.
A integranda fica:
Agora os limites: quando
,
; quando
,
. Logo
Intuição: a substituição mostra que é integral de uma função com mesmos limites — volta ao ponto inicial — por isso zera.
Passo 8
Calcule
. Faça substituição
. Então
.
Quando
,
; quando
,
. A integranda vira
, portanto
Mesma ideia: começa e termina no mesmo valor de
, integral é zero.
Passo 9
Calcule
. Antiderivada de
é
. Então
Passo 10
Somando os três resultados:
(E pronto — as partes que pareciam trigonométricas cancelaram por serem integrais de substituição com mesmos limites, sobrando só a parte polinomial em
.)