Calcule \int_{\gamma} \vec{F} d \vec{r}, sendo dados:
\vec{F}(x, y, z)=\left(x^{2}, y^{2}, z^{2}\right) e \gamma(t)=(2 \cos t, 3 \operatorname{sen} t, t), \quad t \in[0,2 \pi].

Passo 1

O problema pede para calcular a integral de linha (trabalho) da campo vetorial \vec{F} ao longo da curva \gamma. Dados do enunciado que vamos usar:
\vec{F}(x,y,z)=\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right).
\gamma(t)=(2\cos t,\,3\operatorname{sen}t,\,t), para t\in[0,2\pi]. (Estou pegando a expressão de \gamma do enunciado.)
A pergunta explícita é: calcular \displaystyle \int_{\gamma}\vec{F}\,d\vec{r}.

Passo 2

Primeiro, a fórmula que nos permite transformar a integral de linha em uma integral em t (esta é a ideia fundamental que você precisa levar para a prova):
\int_{\gamma}\vec{F}\,d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\,dt,
onde:
  • \gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^3 é a parametrização da curva (aqui a=0, b=2\pi);
  • \gamma'(t) é a derivada componente a componente de \gamma(t);
  • \vec{F}(\gamma(t)) é o campo avaliado na parametrização;
  • o produto \cdot é o produto escalar usual em \mathbb{R}^3.
Esta fórmula vem da substituição d\vec{r}=\gamma'(t)\,dt. Pense assim: a cada pequeno passo dt a posição muda \gamma'(t)dt, e a contribuição do campo é a componente na direção desse passo, dada pelo produto escalar.

Passo 3

Calculemos \gamma'(t). Derivada componente a componente de \gamma(t)=(2\cos t,\,3\operatorname{sen}t,\,t):
  • derivada de 2\cos t é -2\sin t,
  • derivada de 3\operatorname{sen}t é 3\cos t,
  • derivada de t é 1.
Portanto,
\gamma'(t)=(-2\sin t,\,3\cos t,\,1).
(Derivar vetor significa derivar cada coordenada separadamente — nada de mistério.)

Passo 4

Agora avaliamos o campo \vec{F} na curva, ou seja, substituímos x=2\cos t, y=3\operatorname{sen}t, z=t em \vec{F}(x,y,z)=(x^2,y^2,z^2):
\vec{F}(\gamma(t))=\big((2\cos t)^2,\,(3\operatorname{sen}t)^2,\,t^2\big)=(4\cos^2 t,\,9\operatorname{sen}^2 t,\,t^2).
(Expliquei a substituição: elevar ao quadrado cada componente da parametrização.)

Passo 5

Calcule o produto escalar \vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t). Produto escalar em \mathbb{R}^3 é soma dos produtos das coordenadas correspondentes:
\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)=4\cos^2 t\cdot(-2\sin t)+9\operatorname{sen}^2 t\cdot(3\cos t)+t^2\cdot 1.
Multiplicando os coeficientes:
\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)=-8\cos^2 t\,\sin t+27\operatorname{sen}^2 t\,\cos t + t^2.
(Usei \operatorname{sen} conforme o enunciado para manter a consistência; você pode ler como \sin.)

Passo 6

Portanto a integral que queremos é
\int_{\gamma}\vec{F}\,d\vec{r}=\int_{0}^{2\pi}\big(-8\cos^2 t\,\sin t+27\operatorname{sen}^2 t\,\cos t + t^2\big)\,dt.
Vamos separar em três integrais mais simples:
I=\int_{0}^{2\pi}-8\cos^2 t\,\sin t\,dt,\qquad J=\int_{0}^{2\pi}27\operatorname{sen}^2 t\,\cos t\,dt,\qquad K=\int_{0}^{2\pi} t^2\,dt.
Então \displaystyle \int_{\gamma}\vec{F}\,d\vec{r}=I+J+K.

Passo 7

Calcule I=\int_{0}^{2\pi}-8\cos^2 t\,\sin t\,dt. Use substituição u=\cos t. Então du=-\sin t\,dt, logo \sin t\,dt=-du.
A integranda fica:
-8\cos^2 t\,\sin t\,dt = -8 u^2(\sin t\,dt) = -8 u^2(-du)=8u^2\,du.
Agora os limites: quando t=0, u=\cos 0=1; quando t=2\pi, u=\cos 2\pi=1. Logo
I=\int_{u=1}^{u=1}8u^2\,du = 8\left[\frac{u^3}{3}\right]_{1}^{1}=8\cdot\frac{1^3-1^3}{3}=0.
Intuição: a substituição mostra que é integral de uma função com mesmos limites — volta ao ponto inicial — por isso zera.

Passo 8

Calcule J=\int_{0}^{2\pi}27\operatorname{sen}^2 t\,\cos t\,dt. Faça substituição v=\operatorname{sen}t. Então dv=\cos t\,dt.
Quando t=0, v=\operatorname{sen}0=0; quando t=2\pi, v=\operatorname{sen}2\pi=0. A integranda vira 27v^2\,dv, portanto
J=\int_{v=0}^{v=0}27v^2\,dv = 27\left[\frac{v^3}{3}\right]_{0}^{0}=0.
Mesma ideia: começa e termina no mesmo valor de v, integral é zero.

Passo 9

Calcule K=\int_{0}^{2\pi} t^2\,dt. Antiderivada de t^2 é \tfrac{t^3}{3}. Então
K=\left[\frac{t^3}{3}\right]_{0}^{2\pi}=\frac{(2\pi)^3}{3}-0=\frac{8\pi^3}{3}.

Passo 10

Somando os três resultados:
\int_{\gamma}\vec{F}\,d\vec{r}=I+J+K=0+0+\frac{8\pi^3}{3}=\frac{8\pi^3}{3}.
(E pronto — as partes que pareciam trigonométricas cancelaram por serem integrais de substituição com mesmos limites, sobrando só a parte polinomial em t.)

Resposta

\displaystyle \frac{8\pi^{3}}{3}

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