Calcule \int_{\gamma} \vec{F} d \vec{r}, sendo \gamma(t)=(\cos t, \sin t), 0 \leq t \leq 2 \pi e \vec{F}(x, y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}} \vec{i}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \vec{j}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha \displaystyle \int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r
ao longo da curva \gamma(t)=(\cos t,\sin t), 0\le t\le2\pi,
para o campo \displaystyle \vec F(x,y)=\bigl(-\tfrac{y}{x^2+y^2},\,\tfrac{x}{x^2+y^2}\bigr).
Para isso, vamos parametrizar a integral como \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\vec F(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada da parametrização:
\gamma'(t)=(-\sin t,\cos t).

Passo 3

Substituindo \gamma(t) em \vec F, como \cos^2t+\sin^2t=1, obtemos
\vec F(\gamma(t)) =\Bigl(-\tfrac{\sin t}{1},\,\tfrac{\cos t}{1}\Bigr) =(-\sin t,\cos t).
O produto escalar com \gamma'(t) é
\vec F(\gamma(t))\cdot\gamma'(t) =(-\sin t)(-\sin t)+(\cos t)(\cos t) =\sin^2t+\cos^2t=1.

Passo 4

Portanto a integral de linha vale
\int_{0}^{2\pi}1\,dt = 2\pi.

Resposta

2\pi

Exercícios relacionados