Em cada item, mostre que a função f é diferenciável no \left(x_{0}, y_{0}\right) e obtenha uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto P=\left(x_{0}, y_{0}, f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right).
f(x, y)=3(x-1)^{2}+2(y+3)^{2}+7, P=(2,-2,12)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=3(x-1)^{2}+2(y+3)^{2}+7
e o ponto (x_{0},y_{0})=(2,-2), em que f(2,-2)=12. Precisamos mostrar que f é diferenciável em (2,-2) e escrever a equação do plano tangente ao gráfico de f em
P=(2,-2,12).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f. Como f é polinomial, jejamos deriva‐bilidade automática, mas vamos achar explicitamente:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =6(x-1), \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =4(y+3).
Em (2,-2) isso vale
\frac{\partial f}{\partial x}(2,-2)=6(2-1)=6, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(2,-2)=4(-2+3)=4.

Passo 3

Como f é soma de polinômios em x e y, suas derivadas parciais existem e são contínuas em todo \mathbb{R}^2. Logo f é de classe C^1 e, em particular, diferenciável em (2,-2).

Passo 4

A equação do plano tangente a z=f(x,y) em P é dada por
z - f(2,-2) =\frac{\partial f}{\partial x}(2,-2)\,(x-2) +\frac{\partial f}{\partial y}(2,-2)\,(y+2).
Substituindo os valores encontrados:
z - 12 = 6\,(x-2) + 4\,(y+2).
Expandindo, obtemos
z = 6x -12 +4y +8 +12 = 6x +4y +8.

Resposta

A função f é diferenciável em (2,-2) e o plano tangente em P é
\boxed{z = 6x + 4y + 8.}

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