Em cada item, mostre que a função
é diferenciável no
e obtenha uma equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
,
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
, em que
. Precisamos mostrar que
é diferenciável em
e escrever a equação do plano tangente ao gráfico de
em
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
. Como
é polinomial, jejamos deriva‐bilidade automática, mas vamos achar explicitamente:
Em
isso vale
Passo 3
Como
é soma de polinômios em
e
, suas derivadas parciais existem e são contínuas em todo
. Logo
é de classe
e, em particular, diferenciável em
.
Passo 4
A equação do plano tangente a
em
é dada por
Substituindo os valores encontrados:
Expandindo, obtemos
Resposta
A função
é diferenciável em
e o plano tangente em
é