- Calcule
, onde
é a fronteira do triângulo de vértices
e
, orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha fechada orientada anti-horário
onde
é a fronteira do triângulo de vértices
,
e
, orientada no sentido anti-horário.
Informações importantes fornecidas:
- A curva
é a fronteira do triângulo com vértices , e . - A orientação é anti-horária (sentido positivo).
- O integrando está dado em forma padrão
com
O objetivo é obter o valor numérico dessa integral fechada.
Passo 2
Ideia de resolução e justificativa (por que usar este método):
- Para integrais de linha fechadas do tipo
sobre uma curva simples que é fronteira de uma região plana, é geralmente muito mais fácil aplicar o Teorema de Green do que parametrizar cada lado e somar três integrais. - O Teorema de Green transforma a integral de linha em uma integral dupla sobre a região interna
do triângulo, o que costuma simplificar bastante os cálculos quando e são funções simples.
Enunciado do Teorema de Green (explicado passo a passo):
- Se
é uma região planar simples com fronteira positivamente orientada (anti-horária) e têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de , então - Aqui
é a derivada parcial de em relação a (tratando como constante) e é a derivada parcial de em relação a . O integrando representa a circulação “local” do campo vetorial.
Vamos aplicar esse teorema ao nosso
e
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais que aparecem no Teorema de Green:
- Calcular
. Como e é tratado como constante ao derivar em , Explicação: a derivada de é , e o fator sai como constante. - Calcular
. Como , Explicação: é constante em relação a e .
Portanto o integrando da integral dupla será
Passo 4
Descrever a região
(o triângulo) e escolher limites de integração:
- Os vértices são
, e . - As arestas do triângulo são:
- entre
e : reta vertical , com de a ; - entre
e : reta que passa por esses pontos, equação (pois a inclinação ); - entre
e : reta com equação (inclinação , intercepto ).
- entre
- Para montar a integral dupla, é conveniente integrar primeiro em
(verticalmente) e depois em . Para cada entre e , o varia entre a reta inferior e a reta superior . - Logo, a região
pode ser descrita por
Passo 5
Escrever a integral dupla dada pelo Teorema de Green:
Passo 6
Calcular a integral interna em
:
- Integramos
. - Como
é constante em relação a , temos Calcular a diferença: Assim - Agora a parte constante:
- Somando as duas partes obtemos a integral interna:
Passo 7
Agora integramos em
de
a
:
Separe em duas integrais:
Passo 8
Calcular a integral simples
:
Passo 9
Calcular a integral com
multiplicando polinômio:
- Defina
Separe em três integrais: - Calcular
é direto: - Calcular
por integração por partes:- Tome
, . Então , . - Pela fórmula
, - Avaliando de
a :
- Tome
- Calcular
por integração por partes (duas vezes):- Primeiro passo:
, , . - Já sabemos
. Logo - Avaliando de
a :
- Primeiro passo:
- Agora junte os resultados:
Calcule: Assim .
Passo 10
Voltar à integral original:
- A parte com fator
dá - Somando a outra parte
(do Passo 8) obtemos - Portanto o valor final é