1. Calcule \int_{\gamma}^{+}(x-y) d x+e x \quad y d y, onde \gamma é a fronteira do triângulo de vértices (0,0),(0,1) e (1,2), orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha fechada orientada anti-horário
\oint_{\gamma} (x-y)\,dx + e^{x}y\,dy,
onde \gamma é a fronteira do triângulo de vértices (0,0), (0,1) e (1,2), orientada no sentido anti-horário.
Informações importantes fornecidas:
  • A curva \gamma é a fronteira do triângulo com vértices (0,0), (0,1) e (1,2).
  • A orientação é anti-horária (sentido positivo).
  • O integrando está dado em forma padrão P\,dx + Q\,dy com P(x,y)=x-y,\qquad Q(x,y)=e^{x}y.
O objetivo é obter o valor numérico dessa integral fechada.

Passo 2

Ideia de resolução e justificativa (por que usar este método):
  • Para integrais de linha fechadas do tipo \oint (P\,dx + Q\,dy) sobre uma curva simples que é fronteira de uma região plana, é geralmente muito mais fácil aplicar o Teorema de Green do que parametrizar cada lado e somar três integrais.
  • O Teorema de Green transforma a integral de linha em uma integral dupla sobre a região interna D do triângulo, o que costuma simplificar bastante os cálculos quando P e Q são funções simples.
Enunciado do Teorema de Green (explicado passo a passo):
  • Se D é uma região planar simples com fronteira \gamma positivamente orientada (anti-horária) e P,Q têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de D, então \oint_{\gamma} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
  • Aqui \frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x (tratando y como constante) e \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y. O integrando \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} representa a circulação “local” do campo vetorial.
Vamos aplicar esse teorema ao nosso P e Q.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais que aparecem no Teorema de Green:
  • Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x}. Como Q(x,y)=e^{x}y e y é tratado como constante ao derivar em x, \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x}y\big)=e^{x}y.Explicação: a derivada de e^{x} é e^{x}, e o fator y sai como constante.
  • Calcular \dfrac{\partial P}{\partial y}. Como P(x,y)=x-y, \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(x-y\big) = -1.Explicação: x é constante em relação a y e \partial(-y)/\partial y=-1.
Portanto o integrando da integral dupla será
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = e^{x}y - (-1) = e^{x}y + 1.

Passo 4

Descrever a região D (o triângulo) e escolher limites de integração:
  • Os vértices são (0,0), (0,1) e (1,2).
  • As arestas do triângulo são:
    • entre (0,0) e (0,1): reta vertical x=0, com y de 0 a 1;
    • entre (0,0) e (1,2): reta que passa por esses pontos, equação y=2x (pois a inclinação (2-0)/(1-0)=2);
    • entre (0,1) e (1,2): reta com equação y=x+1 (inclinação 1, intercepto 1).
  • Para montar a integral dupla, é conveniente integrar primeiro em y (verticalmente) e depois em x. Para cada x entre 0 e 1, o y varia entre a reta inferior y=2x e a reta superior y=x+1.
  • Logo, a região D pode ser descrita por D=\{(x,y): 0\le x\le 1,\; 2x\le y\le x+1\}.

Passo 5

Escrever a integral dupla dada pelo Teorema de Green:
\oint_{\gamma} (x-y)\,dx + e^{x}y\,dy = \iint_{D} \big(e^{x}y + 1\big)\,dA = \int_{x=0}^{1}\int_{y=2x}^{x+1} \big(e^{x}y + 1\big)\,dy\,dx.

Passo 6

Calcular a integral interna em y:
  • Integramos \int_{2x}^{x+1} (e^{x}y + 1)\,dy.
  • Como e^{x} é constante em relação a y, temos \int_{2x}^{x+1} e^{x}y\,dy = e^{x}\int_{2x}^{x+1} y\,dy = e^{x}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{y=2x}^{y=x+1}.Calcular a diferença: \left(x+1\right)^{2} - (2x)^{2} = (x^{2}+2x+1) - 4x^{2} = -3x^{2} + 2x + 1.Assim \int_{2x}^{x+1} e^{x}y\,dy = e^{x}\cdot \frac{-3x^{2} + 2x + 1}{2}.
  • Agora a parte constante: \int_{2x}^{x+1} 1\,dy = (x+1) - 2x = 1 - x.
  • Somando as duas partes obtemos a integral interna: \int_{2x}^{x+1} \big(e^{x}y + 1\big)\,dy = \frac{e^{x}}{2}\big(-3x^{2} + 2x + 1\big) + (1 - x).

Passo 7

Agora integramos em x de 0 a 1:
\oint_{\gamma} (x-y)\,dx + e^{x}y\,dy = \int_{0}^{1} \left[ \frac{e^{x}}{2}\big(-3x^{2} + 2x + 1\big) + (1 - x) \right] dx.
Separe em duas integrais:
= \frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{x}\big(-3x^{2} + 2x + 1\big)\,dx \;+\; \int_{0}^{1} (1 - x)\,dx.

Passo 8

Calcular a integral simples \int_{0}^{1} (1-x)\,dx:
\int_{0}^{1} (1-x)\,dx = \left[x - \frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.

Passo 9

Calcular a integral com e^{x} multiplicando polinômio:
  • Defina I=\int_{0}^{1} e^{x}\big(-3x^{2} + 2x + 1\big)\,dx.Separe em três integrais: I = -3\int_{0}^{1} x^{2}e^{x}\,dx + 2\int_{0}^{1} x e^{x}\,dx + \int_{0}^{1} e^{x}\,dx.
  • Calcular \int_{0}^{1} e^{x}\,dx é direto: \int_{0}^{1} e^{x}\,dx = e^{x}\Big|_{0}^{1} = e - 1.
  • Calcular \int_{0}^{1} x e^{x}\,dx por integração por partes:
    • Tome u=x, dv=e^{x}dx. Então du=dx, v=e^{x}.
    • Pela fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du, \int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x}(x-1) + C.
    • Avaliando de 0 a 1: \int_{0}^{1} x e^{x}\,dx = e^{1}(1-1) - e^{0}(0-1) = 0 - 1\cdot(-1) = 1.
  • Calcular \int_{0}^{1} x^{2} e^{x}\,dx por integração por partes (duas vezes):
    • Primeiro passo: u=x^{2}, dv=e^{x}dx \Rightarrow du=2x\,dx, v=e^{x}. \int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - 2\int x e^{x}\,dx.
    • Já sabemos \int x e^{x}\,dx = e^{x}(x-1)+C. Logo \int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - 2e^{x}(x-1) + C = e^{x}\big(x^{2} - 2x + 2\big) + C.
    • Avaliando de 0 a 1: \int_{0}^{1} x^{2}e^{x}\,dx = e^{1}(1 - 2 + 2) - e^{0}(0 - 0 + 2) = e - 2.
  • Agora junte os resultados: I = -3(e - 2) + 2\cdot 1 + (e - 1).Calcule: I = -3e + 6 + 2 + e - 1 = (-2e) + 7.Assim I = -2e + 7.

Passo 10

Voltar à integral original:
  • A parte com fator 1/2 \frac{1}{2}I = \frac{1}{2}(-2e + 7) = -e + \frac{7}{2}.
  • Somando a outra parte \dfrac{1}{2} (do Passo 8) obtemos \oint_{\gamma} (x-y)\,dx + e^{x}y\,dy = \left(-e + \frac{7}{2}\right) + \frac{1}{2} = -e + 4.
  • Portanto o valor final é 4 - e.

Resposta

4-e

Exercícios relacionados