Seja \underset{F}{\rightarrow}=\left(x^{2}, y^{2}\right) e C a curva formada pelo arco de circunferência x^{2}+y^{2}=4 de (2,0) até (0,2) e pelo segmento de reta que liga (2,0) até (4,3). Diretamente da definição da integral de linha, calcule.
\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}
Passo 1
O enunciado dá a campo vetorial \vec{F}=(x^{2},y^{2}) e a curva C composta por duas partes:
C_{1}: o arco da circunferência x^{2}+y^{2}=4 que vai de (2,0) até (0,2).
C_{2}: o segmento de reta que liga (2,0) até (4,3).
A pergunta é calcular diretamente, pela definição de integral de linha,
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Informações relevantes que temos:
\vec{F}(x,y)=(x^{2},y^{2}).
A integral sobre C é a soma das integrais sobre C_{1} e C_{2}:\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{C_{1}}\vec{F}\cdot d\vec{r}+\int_{C_{2}}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Pela definição, se escrevemos \vec{F}=(P,Q) e \vec{r}(t)=(x(t),y(t)) então\vec{F}\cdot d\vec{r}=P\,dx+Q\,dy,com dx=x'(t)\,dt e dy=y'(t)\,dt. Vamos parametrizar cada arco e aplicar essa definição.
Passo 2
Parametrização e cálculo para C_{1} (arco da circunferência).
Escolha de parametrização: um arco de circunferência de raio 2 de (2,0) até (0,2) corresponde a ângulo \theta variando de 0 a \tfrac{\pi}{2}. Assim tomamosx(\theta)=2\cos\theta,\qquad y(\theta)=2\sin\theta,\qquad 0\le \theta\le \tfrac{\pi}{2}.
Substituindo em P\,dx+Q\,dy com P=x^{2} e Q=y^{2}:x^{2}dx+y^{2}dy = (2\cos\theta)^{2}(-2\sin\theta\,d\theta) + (2\sin\theta)^{2}(2\cos\theta\,d\theta).Calcule cada termo:(2\cos\theta)^{2}(-2\sin\theta) = 4\cos^{2}\theta\cdot(-2\sin\theta) = -8\cos^{2}\theta\sin\theta,
Agora a integral sobre C_{1}:\int_{C_{1}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{\pi/2} 8\sin\theta\cos\theta(\sin\theta-\cos\theta)\,d\theta.
Para calcular, é mais simples separar em dois integrais:\int_{0}^{\pi/2}8\sin\theta\cos\theta\sin\theta\,d\theta - \int_{0}^{\pi/2}8\sin\theta\cos\theta\cos\theta\,d\theta.Ou seja,8\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin^{2}\theta\,d\theta - 8\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\sin\theta\,d\theta.
Calcule cada integral por substituição:
Para I_{1}=\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin^{2}\theta\,d\theta, faça u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta. AssimI_{1}=\int_{0}^{1}u^{2}\,du=\left.\frac{u^{3}}{3}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{3}.
Para I_{2}=\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\sin\theta\,d\theta, faça v=\cos\theta, dv=-\sin\theta\,d\theta. AssimI_{2}=-\int_{1}^{0}v^{2}\,dv=\int_{0}^{1}v^{2}\,dv=\left.\frac{v^{3}}{3}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{3}.
Substituindo em x^{2}dx+y^{2}dy:x^{2}dx+y^{2}dy = (2+2t)^{2}\cdot 2\,dt + (3t)^{2}\cdot 3\,dt.Calcule os termos:(2+2t)^{2}=4(1+t)^{2}=4(1+2t+t^{2})=4+8t+4t^{2},multiplicando por 2:2(2+2t)^{2}=8+16t+8t^{2}.E(3t)^{2}\cdot 3 = 9t^{2}\cdot 3 =27t^{2}.Soma:x^{2}dx+y^{2}dy = (8+16t+8t^{2}+27t^{2})\,dt = (8+16t+35t^{2})\,dt.
Integral sobre C_{2}:\int_{C_{2}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{1}(8+16t+35t^{2})\,dt.Calcule primitive termo a termo:\int_{0}^{1}8\,dt = 8t\Big|_{0}^{1}=8,
Pequeno comentário pedagógico (para fixar): uma forma rápida de checar é observar que \vec{F}=(x^{2},y^{2}) é gradiente de \varphi(x,y)=\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{y^{3}}{3}, então a integral entre dois pontos depende só dos extremos. Para C_{1} os extremos trocados deram mesma variação de potencial com sinais opostos e cancelaram, resultando 0; para C_{2} a variação de potencial deu \dfrac{83}{3}, como calculado acima.