Seja \underset{F}{\rightarrow}=\left(x^{2}, y^{2}\right) e C a curva formada pelo arco de circunferência x^{2}+y^{2}=4 de (2,0) até (0,2) e pelo segmento de reta que liga (2,0) até (4,3). Diretamente da definição da integral de linha, calcule.
\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}

Passo 1

O enunciado dá a campo vetorial \vec{F}=(x^{2},y^{2}) e a curva C composta por duas partes:
  • C_{1}: o arco da circunferência x^{2}+y^{2}=4 que vai de (2,0) até (0,2).
  • C_{2}: o segmento de reta que liga (2,0) até (4,3).
A pergunta é calcular diretamente, pela definição de integral de linha,
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Informações relevantes que temos:
  • \vec{F}(x,y)=(x^{2},y^{2}).
  • A integral sobre C é a soma das integrais sobre C_{1} e C_{2}: \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{C_{1}}\vec{F}\cdot d\vec{r}+\int_{C_{2}}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
  • Pela definição, se escrevemos \vec{F}=(P,Q) e \vec{r}(t)=(x(t),y(t)) então \vec{F}\cdot d\vec{r}=P\,dx+Q\,dy,com dx=x'(t)\,dt e dy=y'(t)\,dt. Vamos parametrizar cada arco e aplicar essa definição.

Passo 2

Parametrização e cálculo para C_{1} (arco da circunferência).
  • Escolha de parametrização: um arco de circunferência de raio 2 de (2,0) até (0,2) corresponde a ângulo \theta variando de 0 a \tfrac{\pi}{2}. Assim tomamos x(\theta)=2\cos\theta,\qquad y(\theta)=2\sin\theta,\qquad 0\le \theta\le \tfrac{\pi}{2}.
  • Derivadas: dx=x'(\theta)\,d\theta = -2\sin\theta\,d\theta,\qquad dy=y'(\theta)\,d\theta = 2\cos\theta\,d\theta.
  • Substituindo em P\,dx+Q\,dy com P=x^{2} e Q=y^{2}: x^{2}dx+y^{2}dy = (2\cos\theta)^{2}(-2\sin\theta\,d\theta) + (2\sin\theta)^{2}(2\cos\theta\,d\theta).Calcule cada termo: (2\cos\theta)^{2}(-2\sin\theta) = 4\cos^{2}\theta\cdot(-2\sin\theta) = -8\cos^{2}\theta\sin\theta,
(2\sin\theta)^{2}(2\cos\theta) = 4\sin^{2}\theta\cdot 2\cos\theta = 8\sin^{2}\theta\cos\theta.
Soma:
x^{2}dx+y^{2}dy = \bigl(-8\cos^{2}\theta\sin\theta + 8\sin^{2}\theta\cos\theta\bigr)\,d\theta.
Fatorando:
x^{2}dx+y^{2}dy = 8\sin\theta\cos\theta(\sin\theta-\cos\theta)\,d\theta.
  • Agora a integral sobre C_{1}: \int_{C_{1}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{\pi/2} 8\sin\theta\cos\theta(\sin\theta-\cos\theta)\,d\theta.
  • Para calcular, é mais simples separar em dois integrais: \int_{0}^{\pi/2}8\sin\theta\cos\theta\sin\theta\,d\theta - \int_{0}^{\pi/2}8\sin\theta\cos\theta\cos\theta\,d\theta.Ou seja, 8\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin^{2}\theta\,d\theta - 8\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\sin\theta\,d\theta.
  • Calcule cada integral por substituição:
    • Para I_{1}=\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin^{2}\theta\,d\theta, faça u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta. Assim I_{1}=\int_{0}^{1}u^{2}\,du=\left.\frac{u^{3}}{3}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{3}.
    • Para I_{2}=\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\sin\theta\,d\theta, faça v=\cos\theta, dv=-\sin\theta\,d\theta. Assim I_{2}=-\int_{1}^{0}v^{2}\,dv=\int_{0}^{1}v^{2}\,dv=\left.\frac{v^{3}}{3}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{3}.
  • Logo \int_{C_{1}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=8\left(\frac{1}{3}\right)-8\left(\frac{1}{3}\right)=0.

Passo 3

Parametrização e cálculo para C_{2} (segmento de reta de (2,0) a (4,3)).
  • Parametrização afim: tome parâmetro t\in[0,1] e x(t)=2+2t,\qquad y(t)=0+3t=3t,\qquad 0\le t\le 1.(Aqui (x(0),y(0))=(2,0) e (x(1),y(1))=(4,3).)
  • Derivadas: dx=x'(t)\,dt = 2\,dt,\qquad dy=y'(t)\,dt = 3\,dt.
  • Substituindo em x^{2}dx+y^{2}dy: x^{2}dx+y^{2}dy = (2+2t)^{2}\cdot 2\,dt + (3t)^{2}\cdot 3\,dt.Calcule os termos: (2+2t)^{2}=4(1+t)^{2}=4(1+2t+t^{2})=4+8t+4t^{2},multiplicando por 2: 2(2+2t)^{2}=8+16t+8t^{2}.E (3t)^{2}\cdot 3 = 9t^{2}\cdot 3 =27t^{2}.Soma: x^{2}dx+y^{2}dy = (8+16t+8t^{2}+27t^{2})\,dt = (8+16t+35t^{2})\,dt.
  • Integral sobre C_{2}: \int_{C_{2}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{1}(8+16t+35t^{2})\,dt.Calcule primitive termo a termo: \int_{0}^{1}8\,dt = 8t\Big|_{0}^{1}=8,
\int_{0}^{1}16t\,dt = 8t^{2}\Big|_{0}^{1}=8,
\int_{0}^{1}35t^{2}\,dt = \frac{35}{3}t^{3}\Big|_{0}^{1}=\frac{35}{3}.
Somando:
\int_{C_{2}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=8+8+\frac{35}{3}=16+\frac{35}{3}=\frac{48+35}{3}=\frac{83}{3}.

Passo 4

Somando as contribuições das duas partes da curva:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{C_{1}}\vec{F}\cdot d\vec{r}+\int_{C_{2}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0+\frac{83}{3}=\frac{83}{3}.
Pequeno comentário pedagógico (para fixar): uma forma rápida de checar é observar que \vec{F}=(x^{2},y^{2}) é gradiente de \varphi(x,y)=\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{y^{3}}{3}, então a integral entre dois pontos depende só dos extremos. Para C_{1} os extremos trocados deram mesma variação de potencial com sinais opostos e cancelaram, resultando 0; para C_{2} a variação de potencial deu \dfrac{83}{3}, como calculado acima.

Resposta

\dfrac{83}{3}

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