Fatores os Polinômio abaixo:
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
, e pede para fatorá‑lo.
Informações dadas (coeficientes):
Informações dadas (coeficientes):
-
(coeficiente de ), -
(coeficiente de ), -
(termo constante).
Objetivo: escrevercomo produto de fatores polinomiais de grau menor (fatoração sobre os reais).
Passo 2
Método direto para quadrático monico (coeficiente de
igual a
).
Se um quadrático monico for , ao expandir obtém-se
Se um quadrático monico for
Portanto, para fatorar
precisamos encontrar dois números
e
tais que
Procure pares de inteiros com produto
:
. Desses, apenas
tem soma
. Logo
Passo 3
Interpretação como trinômio quadrado perfeito. A forma geral é
Comparando com
, temos
e
— consistente. Assim novamente
Passo 4
Verificação por completar o quadrado (procedimento que serve na prova): tomar metade do coeficiente de
, que é
, e elevar ao quadrado:
. Então escrevemos
Isso mostra explicitamente que o polinômio já é um quadrado perfeito.
Passo 5
Verificação pelas raízes (fórmula quadrática) para confirmar: as raízes da equação
são dadas por
Há apenas uma raiz
com multiplicidade
, portanto o fator irreduzível é
.
Passo 6
Resumo prático para usar na prova (dicas rápidas):
- Se o quadrático for monico (
), tente achar dois números com produto e soma . - Verifique se é trinômio quadrado perfeito usando
e (aqui ). - Se tiver dúvida, calcule o discriminante
: indica raiz dupla e fator quadrado.