Fatores os Polinômio abaixo:
m^{2}+4 m+4

Passo 1

O enunciado dá o polinômio \,m^{2}+4m+4, e pede para fatorá‑lo.
Informações dadas (coeficientes):
  • a=1 (coeficiente de m^{2}),
  • b=4 (coeficiente de m),
  • c=4 (termo constante).
    Objetivo: escrever \,m^{2}+4m+4 como produto de fatores polinomiais de grau menor (fatoração sobre os reais).

Passo 2

Método direto para quadrático monico (coeficiente de m^{2} igual a 1).
Se um quadrático monico for (m+p)(m+q), ao expandir obtém-se
(m+p)(m+q)=m^{2}+(p+q)m+pq.
Portanto, para fatorar m^{2}+4m+4 precisamos encontrar dois números p e q tais que
p+q=4 \quad\text{e}\quad pq=4.
Procure pares de inteiros com produto 4: (1,4), (2,2), (-1,-4), (-2,-2). Desses, apenas (2,2) tem soma 4. Logo
m^{2}+4m+4=(m+2)(m+2)=(m+2)^{2}.

Passo 3

Interpretação como trinômio quadrado perfeito. A forma geral é
(m+a)^{2}=m^{2}+2am+a^{2}.
Comparando com m^{2}+4m+4, temos 2a=4\Rightarrow a=2 e a^{2}=4 — consistente. Assim novamente
m^{2}+4m+4=(m+2)^{2}.

Passo 4

Verificação por completar o quadrado (procedimento que serve na prova): tomar metade do coeficiente de m, que é \dfrac{4}{2}=2, e elevar ao quadrado: 2^{2}=4. Então escrevemos
m^{2}+4m+4 = \bigl(m^{2}+4m+4\bigr) = (m+2)^{2}.
Isso mostra explicitamente que o polinômio já é um quadrado perfeito.

Passo 5

Verificação pelas raízes (fórmula quadrática) para confirmar: as raízes da equação m^{2}+4m+4=0 são dadas por
m=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-4\pm\sqrt{16-16}}{2}=\frac{-4\pm0}{2}=-2.
Há apenas uma raiz m=-2 com multiplicidade 2, portanto o fator irreduzível é (m+2)^{2}.

Passo 6

Resumo prático para usar na prova (dicas rápidas):
  • Se o quadrático for monico ( a=1), tente achar dois números com produto c e soma b.
  • Verifique se é trinômio quadrado perfeito usando 2a=b e a^{2}=c (aqui a=2).
  • Se tiver dúvida, calcule o discriminante \Delta=b^{2}-4ac: \Delta=0 indica raiz dupla e fator quadrado.

Resposta

(m+2)^{2}

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