Calcule
I_{3}=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}\left(x^{2}+4\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria real
I_{3}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\left(x^{2}+1\right)^{2}\left(x^{2}+4\right)^{2}}.
Informações dadas e observações úteis extraídas do enunciado:
  • A função integranda é a razão de polinômios real e é definida para todo x\in\mathbb{R} (não há singularidade real).
  • O integrando é uma função par: f(-x)=f(x).
  • Quer-se o valor numérico da integral sobre toda a reta real.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (explicação curta e motivadora).
  • Uma maneira eficiente para integrais da forma racional com integração sobre (-\infty,\infty) é estender a função para o plano complexo e usar o Teorema dos Resíduos. Vou explicar o que isso significa na prática: considera-se a função complexa
f(z)=\frac{1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}\left(z^{2}+4\right)^{2}},
identifica-se os polos no plano complexo, fecha-se o contorno com um semicírculo no semiplano superior e aplica-se o Teorema dos Resíduos para relacionar a integral ao longo da reta real com a soma das contribuições (resíduos) dos polos no semiplano superior. Vou mostrar passo a passo cada justificativa e conta, sem pular etapas.

Passo 3

Identificação dos polos e suas ordens.
  • Zeros do denominador são soluções de z^{2}+1=0 e z^{2}+4=0.
  • Assim os polos são z=\pm i\quad(\text{cada um de ordem }2), \qquad z=\pm 2i\quad(\text{cada um de ordem }2).
  • Os polos no semiplano superior (parte imaginária positiva) são z=i e z=2i, ambos de ordem dupla (ordem m=2).

Passo 4

Montagem do contorno e justificativa de que só precisamos das contribuições dos polos no semiplano superior.
  • Considere o contorno C_R formado pela reta de [-R,R] no eixo real seguida do semicírculo \Gamma_R de raio R no semiplano superior, percorrido positivamente.
  • Pela forma do integrando, para |z|=R grande temos aproximadamente |f(z)|\sim 1/|z|^{8} porque o denominador é de grau 8. Em particular, no semicírculo: \left|\int_{\Gamma_R} f(z)\,dz\right| \le \text{(comprimento de }\Gamma_R)\cdot\max_{|z|=R}|f(z)| \le \pi R \cdot \frac{C}{R^{8}} = \frac{\pi C}{R^{7}},para alguma constante C>0. Como R\to\infty isso tende a 0.
  • Portanto, no limite R\to\infty, \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 2\pi i \sum_{\substack{\text{polos}\\Im z>0}} \operatorname{Res}(f,z).Ou seja: I_{3}=2\pi i\big(\operatorname{Res}(f,i)+\operatorname{Res}(f,2i)\big).

Passo 5

Fórmula prática para residuos em polos de ordem 2 e preparação para calcular.
  • Para um polo de ordem m em z_{0}, a fórmula geral do resíduo é \operatorname{Res}(f,z_{0}) =\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_{0}}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}}\big[(z-z_{0})^{m}f(z)\big].
  • No nosso caso, m=2. Então, para um polo duplo z_{0}, \operatorname{Res}(f,z_{0}) =\lim_{z\to z_{0}}\frac{d}{dz}\big[(z-z_{0})^{2}f(z)\big].
  • Vou aplicar essa fórmula primeiro em z_{0}=i e depois em z_{0}=2i. Para facilitar as derivadas, fatorarei explicitamente os fatores que não se anulam no polo.

Passo 6

Cálculo detalhado do resíduo em z_{0}=i.
  • Escrevo \left(z^{2}+1\right)^{2}=(z-i)^{2}(z+i)^{2}, \qquad \left(z^{2}+4\right)^{2}=(z^{2}+4)^{2}.Assim (z-i)^{2}f(z)=\frac{1}{(z+i)^{2}(z^{2}+4)^{2}}.
  • Defina g(z)=\frac{1}{(z+i)^{2}(z^{2}+4)^{2}}.Pela fórmula do polo duplo, \operatorname{Res}(f,i)=\lim_{z\to i} g'(z)=g'(i).
  • Calcule g'(z) por derivação de produto/ cadeia. Escrevendo g(z)=(z+i)^{-2}(z^{2}+4)^{-2} temos g'(z)=-2(z+i)^{-3}(z^{2}+4)^{-2} + (z+i)^{-2}\big(-4z\big)(z^{2}+4)^{-3}.Agora avalio em z=i.
  • Valores intermediários: z=i\Rightarrow z+i=2i,\qquad z^{2}+4= (i)^{2}+4=-1+4=3.Então (z+i)^{-2}\Big|_{z=i}=(2i)^{-2}=\frac{1}{(2i)^{2}}=\frac{1}{-4}=-\frac{1}{4},
(z^{2}+4)^{-2}\Big|_{z=i}=\frac{1}{3^{2}}=\frac{1}{9},
(z+i)^{-3}\Big|_{z=i}=(2i)^{-3}=\frac{1}{(2i)^{3}}=\frac{1}{-8i}=-\frac{1}{8i}.
  • Agora cada termo de g'(i): -2(z+i)^{-3}(z^{2}+4)^{-2}\Big|_{z=i} = -2\cdot\Big(-\frac{1}{8i}\Big)\cdot\frac{1}{9} = \frac{1}{36i}.
(z+i)^{-2}\big(-4z\big)(z^{2}+4)^{-3}\Big|_{z=i} =\Big(-\frac{1}{4}\Big)\cdot(-4i)\cdot\frac{1}{27} =\frac{i}{27}.
  • Somando: g'(i)=\frac{1}{36i}+\frac{i}{27}.Para simplificar trocamos o primeiro termo por múltiplo de i: \dfrac{1}{i}=-i, logo \dfrac{1}{36i}=-\dfrac{i}{36}. Portanto g'(i)=-\frac{i}{36}+\frac{i}{27}=i\Big(-\frac{1}{36}+\frac{1}{27}\Big) =i\cdot\frac{1}{108}=\frac{i}{108}.
  • Conclusão: \operatorname{Res}(f,i)=\frac{i}{108}.

Passo 7

Cálculo detalhado do resíduo em z_{0}=2i.
  • Similarmente, note que (z-2i)^{2}f(z)=\frac{1}{(z+2i)^{2}(z^{2}+1)^{2}}.Defina h(z)=\frac{1}{(z+2i)^{2}(z^{2}+1)^{2}}.Então \operatorname{Res}(f,2i)=\lim_{z\to 2i} h'(z)=h'(2i).
  • Escrevendo h(z)=(z+2i)^{-2}(z^{2}+1)^{-2} e derivando: h'(z)=-2(z+2i)^{-3}(z^{2}+1)^{-2} + (z+2i)^{-2}\big(-4z\big)(z^{2}+1)^{-3}.
  • Valores em z=2i: z+2i=4i,\qquad z^{2}+1=(2i)^{2}+1=-4+1=-3.
(z+2i)^{-2}\Big|_{z=2i}=(4i)^{-2}=\frac{1}{(4i)^{2}}=\frac{1}{-16}=-\frac{1}{16},
(z^{2}+1)^{-2}\Big|_{z=2i}=\frac{1}{(-3)^{2}}=\frac{1}{9},
(z+2i)^{-3}\Big|_{z=2i}=(4i)^{-3}=\frac{1}{(4i)^{3}}=\frac{1}{-64i}=-\frac{1}{64i}.
  • Calcule os termos: -2(z+2i)^{-3}(z^{2}+1)^{-2}\Big|_{z=2i} =-2\cdot\Big(-\frac{1}{64i}\Big)\cdot\frac{1}{9} =\frac{1}{288i}.
(z+2i)^{-2}\big(-4z\big)(z^{2}+1)^{-3}\Big|_{z=2i} =\Big(-\frac{1}{16}\Big)\cdot(-8i)\cdot\frac{1}{-27} =-\frac{8i}{432}=-\frac{i}{54}.
(Detalhe: (z^{2}+1)^{-3}|_{2i}=(-3)^{-3}=-1/27, e -4z|_{2i}=-8i.)
  • Agora some: h'(2i)=\frac{1}{288i}-\frac{i}{54}.Usando \dfrac{1}{i}=-i obtém-se \dfrac{1}{288i}=-\dfrac{i}{288}. Portanto h'(2i)=-\frac{i}{288}-\frac{i}{54}= -i\Big(\frac{1}{288}+\frac{1}{54}\Big).Pondo em denominar comum 288: \dfrac{1}{54}=\dfrac{16}{864}=\dfrac{16}{864} — melhor converter ambos para 864. Faço de forma direta: \frac{1}{54}=\frac{16}{864},\qquad \frac{1}{288}=\frac{3}{864},então soma \dfrac{1}{288}+\dfrac{1}{54}=\dfrac{3+16}{864}=\dfrac{19}{864}. Logo h'(2i)=-i\cdot\frac{19}{864}=-\frac{19i}{864}.
  • Conclusão: \operatorname{Res}(f,2i)=-\frac{19i}{864}.

Passo 8

Soma dos resíduos e valor final da integral.
  • Soma das contribuições no semiplano superior: \operatorname{Res}(f,i)+\operatorname{Res}(f,2i) =\frac{i}{108}-\frac{19i}{864}.Colocando denominador comum 864: \frac{i}{108}=\frac{8i}{864},portanto a soma é \frac{8i}{864}-\frac{19i}{864}=-\frac{11i}{864}.
  • Pela fórmula do Passo 4, I_{3}=2\pi i\left(-\frac{11i}{864}\right).Como i\cdot i=i^{2}=-1, obtemos I_{3}=2\pi\cdot\frac{11}{864}=\frac{22\pi}{864}.Simplificando por 2: I_{3}=\frac{11\pi}{432}.

Resposta

\displaystyle \frac{11\pi}{432}

Exercícios relacionados