Informações dadas e observações úteis extraídas do enunciado:
A função integranda é a razão de polinômios real e é definida para todo x\in\mathbb{R} (não há singularidade real).
O integrando é uma função par: f(-x)=f(x).
Quer-se o valor numérico da integral sobre toda a reta real.
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (explicação curta e motivadora).
Uma maneira eficiente para integrais da forma racional com integração sobre (-\infty,\infty) é estender a função para o plano complexo e usar o Teorema dos Resíduos. Vou explicar o que isso significa na prática: considera-se a função complexa
identifica-se os polos no plano complexo, fecha-se o contorno com um semicírculo no semiplano superior e aplica-se o Teorema dos Resíduos para relacionar a integral ao longo da reta real com a soma das contribuições (resíduos) dos polos no semiplano superior. Vou mostrar passo a passo cada justificativa e conta, sem pular etapas.
Passo 3
Identificação dos polos e suas ordens.
Zeros do denominador são soluções de z^{2}+1=0 e z^{2}+4=0.
Assim os polos sãoz=\pm i\quad(\text{cada um de ordem }2), \qquad z=\pm 2i\quad(\text{cada um de ordem }2).
Os polos no semiplano superior (parte imaginária positiva) são z=i e z=2i, ambos de ordem dupla (ordem m=2).
Passo 4
Montagem do contorno e justificativa de que só precisamos das contribuições dos polos no semiplano superior.
Considere o contorno C_R formado pela reta de [-R,R] no eixo real seguida do semicírculo \Gamma_R de raio R no semiplano superior, percorrido positivamente.
Pela forma do integrando, para |z|=R grande temos aproximadamente |f(z)|\sim 1/|z|^{8} porque o denominador é de grau 8. Em particular, no semicírculo:\left|\int_{\Gamma_R} f(z)\,dz\right| \le \text{(comprimento de }\Gamma_R)\cdot\max_{|z|=R}|f(z)| \le \pi R \cdot \frac{C}{R^{8}} = \frac{\pi C}{R^{7}},para alguma constante C>0. Como R\to\infty isso tende a 0.
Portanto, no limite R\to\infty,\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 2\pi i \sum_{\substack{\text{polos}\\Im z>0}} \operatorname{Res}(f,z).Ou seja:I_{3}=2\pi i\big(\operatorname{Res}(f,i)+\operatorname{Res}(f,2i)\big).
Passo 5
Fórmula prática para residuos em polos de ordem 2 e preparação para calcular.
Para um polo de ordem m em z_{0}, a fórmula geral do resíduo é\operatorname{Res}(f,z_{0}) =\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_{0}}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}}\big[(z-z_{0})^{m}f(z)\big].
No nosso caso, m=2. Então, para um polo duplo z_{0},\operatorname{Res}(f,z_{0}) =\lim_{z\to z_{0}}\frac{d}{dz}\big[(z-z_{0})^{2}f(z)\big].
Vou aplicar essa fórmula primeiro em z_{0}=i e depois em z_{0}=2i. Para facilitar as derivadas, fatorarei explicitamente os fatores que não se anulam no polo.
Definag(z)=\frac{1}{(z+i)^{2}(z^{2}+4)^{2}}.Pela fórmula do polo duplo,\operatorname{Res}(f,i)=\lim_{z\to i} g'(z)=g'(i).
Calcule g'(z) por derivação de produto/ cadeia. Escrevendo g(z)=(z+i)^{-2}(z^{2}+4)^{-2} temosg'(z)=-2(z+i)^{-3}(z^{2}+4)^{-2} + (z+i)^{-2}\big(-4z\big)(z^{2}+4)^{-3}.Agora avalio em z=i.
Somando:g'(i)=\frac{1}{36i}+\frac{i}{27}.Para simplificar trocamos o primeiro termo por múltiplo de i: \dfrac{1}{i}=-i, logo \dfrac{1}{36i}=-\dfrac{i}{36}. Portantog'(i)=-\frac{i}{36}+\frac{i}{27}=i\Big(-\frac{1}{36}+\frac{1}{27}\Big) =i\cdot\frac{1}{108}=\frac{i}{108}.
Soma das contribuições no semiplano superior:\operatorname{Res}(f,i)+\operatorname{Res}(f,2i) =\frac{i}{108}-\frac{19i}{864}.Colocando denominador comum 864:\frac{i}{108}=\frac{8i}{864},portanto a soma é\frac{8i}{864}-\frac{19i}{864}=-\frac{11i}{864}.
Pela fórmula do Passo 4,I_{3}=2\pi i\left(-\frac{11i}{864}\right).Como i\cdot i=i^{2}=-1, obtemosI_{3}=2\pi\cdot\frac{11}{864}=\frac{22\pi}{864}.Simplificando por 2:I_{3}=\frac{11\pi}{432}.