Explicar por que isso é conveniente: integrar e^{ix} ao longo da reta permite aplicar métodos de integração complexa (fechamento de contorno e teorema dos resíduos). No final tomamos a parte imaginária do resultado para voltar ao seno.
Passo 3
Definir a função complexa a ser integrada:
f(z)=\frac{z e^{iz}}{(z^{2}+1)^{3}},
onde z é complexo. Observações sobre f:
Os polos de f são onde z^{2}+1=0, isto é z=\pm i.
Ambos os polos são de ordem 3 (pois (z^{2}+1)^{3}=(z-i)^{3}(z+i)^{3}).
Escolha do contorno: fechamos a integral ao longo do eixo real por um semicírculo de raio R no semiplano superior. Justificativa (Jordan): para z=x+iy com y>0 tem-se e^{iz}=e^{i(x+iy)}=e^{ix}e^{-y}, que decai exponencialmente quando y aumenta. Logo a contribuição do arco semicircular no semiplano superior tende a zero quando R\to\infty. Portanto, pelo teorema dos resíduos,
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x e^{ix}}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx =2\pi i\sum (\text{resíduos de }f\text{ nos polos no semiplano superior}).
No semiplano superior só existe o polo z=i (ordem 3). Logo precisamos calcular \operatorname{Res}(f,i).
Passo 4
Fórmula do resíduo para polo de ordem m: se g tem um polo de ordem m em z_0, então