Calcule
I_{2}=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \operatorname{sen} x}{\left(x^{2}+1\right)^{3}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor da integral
I_{2}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\operatorname{sen}x}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A integral é sobre toda a reta real, de -\infty a +\infty.
  • O integrando é x\operatorname{sen}x/(x^{2}+1)^{3}.
  • Não há outros parâmetros numéricos a determinar.
Resumo do alvo: encontrar um valor numérico exato para I_{2}.

Passo 2

Primeira transformação útil (ligar seno ao exponencial): usar a identidade complexa
\operatorname{sen}x=\Im\big(e^{ix}\big),
onde \Im significa “parte imaginária”. Assim podemos escrever
\frac{x\operatorname{sen}x}{(x^{2}+1)^{3}}=\Im\!\left(\frac{x e^{ix}}{(x^{2}+1)^{3}}\right).
Como a operação \Im é linear, temos
I_{2}=\Im\!\left(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x e^{ix}}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx\right).
Explicar por que isso é conveniente: integrar e^{ix} ao longo da reta permite aplicar métodos de integração complexa (fechamento de contorno e teorema dos resíduos). No final tomamos a parte imaginária do resultado para voltar ao seno.

Passo 3

Definir a função complexa a ser integrada:
f(z)=\frac{z e^{iz}}{(z^{2}+1)^{3}},
onde z é complexo. Observações sobre f:
  • Os polos de f são onde z^{2}+1=0, isto é z=\pm i.
  • Ambos os polos são de ordem 3 (pois (z^{2}+1)^{3}=(z-i)^{3}(z+i)^{3}).
Escolha do contorno: fechamos a integral ao longo do eixo real por um semicírculo de raio R no semiplano superior. Justificativa (Jordan): para z=x+iy com y>0 tem-se e^{iz}=e^{i(x+iy)}=e^{ix}e^{-y}, que decai exponencialmente quando y aumenta. Logo a contribuição do arco semicircular no semiplano superior tende a zero quando R\to\infty. Portanto, pelo teorema dos resíduos,
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x e^{ix}}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx =2\pi i\sum (\text{resíduos de }f\text{ nos polos no semiplano superior}).í
No semiplano superior só existe o polo z=i (ordem 3). Logo precisamos calcular \operatorname{Res}(f,i).

Passo 4

Fórmula do resíduo para polo de ordem m: se g tem um polo de ordem m em z_0, então
\operatorname{Res}(g,z_0)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}}\big[(z-z_0)^{m}g(z)\big].
Aqui m=3 e z_0=i. Aplicando a fórmula a f(z):
\operatorname{Res}(f,i)=\frac{1}{2!}\lim_{z\to i}\frac{d^{2}}{dz^{2}}\left[(z-i)^{3}\frac{z e^{iz}}{(z^{2}+1)^{3}}\right].
Como (z^{2}+1)^{3}=(z-i)^{3}(z+i)^{3}, a expressão interna simplifica para
(z-i)^{3}\frac{z e^{iz}}{(z^{2}+1)^{3}}=\frac{z e^{iz}}{(z+i)^{3}}.
Definimos então
h(z)=\frac{z e^{iz}}{(z+i)^{3}}.
Assim
\operatorname{Res}(f,i)=\frac{1}{2}\,h''(i).

Passo 5

Calcular h''(z) passo a passo. Primeiro escrevemos
h(z)=z e^{iz}(z+i)^{-3}.
Derivamos uma vez (produto e cadeia):
h'(z)=e^{iz}(1+iz)(z+i)^{-3}+z e^{iz}\big(-3\big)(z+i)^{-4}.
Colocando em fator comum e^{iz}(z+i)^{-4}:
h'(z)=e^{iz}(z+i)^{-4}\big[(1+iz)(z+i)-3z\big].
Simplificamos o termo entre colchetes:
(1+iz)(z+i)-3z = i z^{2}-3z+i+z -z = i(z^{2}+1)-3z.
Portanto
h'(z)=e^{iz}(z+i)^{-4}\big(i(z^{2}+1)-3z\big).

Passo 6

Agora derivamos h'(z) para obter h''(z). Escrevendo h'(z)=e^{iz}(z+i)^{-4}Q(z) com Q(z)=i(z^{2}+1)-3z, temos
h''(z)=e^{iz}\big( i (z+i)^{-4}Q(z) + (z+i)^{-4}Q'(z) + (-4)(z+i)^{-5}Q(z)\big).
Colocando fator comum e^{iz}(z+i)^{-5} obtemos
h''(z)=e^{iz}(z+i)^{-5}S(z),
onde
S(z)=(z+i)\big(iQ(z)+Q'(z)\big)-4Q(z).
Calculamos Q e Q':
Q(z)=i z^{2}-3z+i,\qquad Q'(z)=2i z-3.
Então
iQ(z)+Q'(z) = -z^{2}-iz-4.
Multiplicando por (z+i) e aplicando a subtração final, encontra-se (fazendo a álgebra cuidadosamente)
S(z)=-z^{3}-6i z^{2}+9z-8i.

Passo 7

Avaliar h''(z) em z=i. Primeiro calcular os fatores:
e^{iz}\Big|_{z=i}=e^{i\cdot i}=e^{-1}, \qquad (z+i)\Big|_{z=i}=2i.
Logo
(z+i)^{-5}\Big|_{z=i}=(2i)^{-5}=2^{-5}i^{-5}=\frac{-i}{32}.
Avaliar S(i):
S(i)=-i^{3}-6i\,i^{2}+9i-8i.
Usando i^{2}=-1 e i^{3}=-i,
S(i)=-(-i)-6i(-1)+9i-8i = i+6i+9i-8i =8i.
Portanto
h''(i)=e^{-1}\cdot\frac{-i}{32}\cdot 8i.
Simplificando -i\cdot i = -i^{2}=1 e 8/32=1/4, obtemos
h''(i)=\frac{e^{-1}}{4}.

Passo 8

Retornar ao resíduo:
\operatorname{Res}(f,i)=\frac{1}{2}h''(i)=\frac{1}{2}\cdot\frac{e^{-1}}{4}=\frac{e^{-1}}{8}.
Pelo teorema dos resíduos:
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x e^{ix}}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx = 2\pi i\cdot\frac{e^{-1}}{8}=\frac{\pi i}{4e}.

Passo 9

Lembrando que I_{2} é a parte imaginária dessa integral:
I_{2}=\Im\!\left(\frac{\pi i}{4e}\right).
Como \frac{\pi}{4e} é real, \Im\!\left(\frac{\pi i}{4e}\right)=\frac{\pi}{4e}. Portanto
I_{2}=\frac{\pi}{4e}.

Resposta

I_{2}=\frac{\pi}{4e}

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