Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas e observações imediatas (apenas listar o que temos):
- A função integranda é a função racional
. - O intervalo de integração é toda a reta real
. - A função é par (isto é,
), portanto é simétrica em relação à origem. - Os pontos onde o denominador zera (potenciais singularidades no plano complexo) são
e . Cada um desses pontos faz o denominador anular-se com multiplicidade , logo são polos de ordem (polo duplo) se estendermos a função para . - O que se quer: o valor numérico exato de
.
Passo 2
Escolha do método e justificativa rápida (o procedimento será explicado detalhadamente nos próximos passos).
- Como a integranda é uma razão de polinômios que decai como
para , a integral sobre converge e podemos aplicar técnicas de integração no plano complexo (contorno) com a fórmula dos resíduos. - Vou usar a fórmula dos resíduos: para integrar uma função racional decaindo suficientemente rápido ao longo da reta real, o valor da integral é dado por
vezes a soma dos resíduos dos polos no semiplano superior. Nos próximos passos eu explico a fórmula dos resíduos e aplico passo a passo.
Passo 3
Breve aula sobre a fórmula dos resíduos e como calcular resíduos de polo de ordem
.
- Teorema dos resíduos (versão usada aqui): se
é meromorfa e decai suficientemente rápido no infinito, então
onde a soma é feita sobre os polos
de
no semiplano superior. (Aqui a hipótese de decaimento garante que a contribuição do arco grande tende a zero.)
- Resíduo em polo de ordem
: se é polo de ordem de , então
- No nosso caso os polos no semiplano superior são
e , ambos de ordem . Assim, para cada um valem as fórmulas específicas (caso ):
Vou aplicar exatamente essa fórmula para
e
.
Passo 4
Cálculo da primitiva auxiliar e do resíduo em
.
- Defina a função complexa
Para
(polo duplo), constrói-se
Usando
temos
, logo os fatores
cancelam e
- O resíduo é
. Vamos derivar com e . - Derivadas e avaliações necessárias:
-
, então e . - Calcular
: em é então . Também em é , logo . Portanto - Agora
. Escrevendo com e , tem-se e . Assim Avaliando em : . E . Somando,
-
- Agora aplique a regra do quociente para
em : -
. -
. - Numerador:
. - Denominador:
. - Logo
-
Passo 5
Cálculo do resíduo em
.
- Para
procedemos análogamente. Defina
O resíduo é
.
- Tome
(como antes) e . Avaliações: -
, . -
em é então . em é , então . Portanto - Derivada
.
Avaliando em: -
. -
. - Logo
.
-
-
- Agora
: -
. -
. Subtraindo com sinal adequado dá . -
. - Assim
-
Passo 6
Somando resíduos e calculando a integral real.
- Soma dos resíduos no semiplano superior:
- Pelo teorema dos resíduos (e justificativa do decaimento), a integral desejada é
- Substituindo a soma:
- Usando
, temos . Então
Passo 7
Verificação rápida de coerência (intuição):
- O resultado é positivo como esperado (integranda é não-negativa).
- A ordem de magnitude é pequena, coerente com decaimento forte do integrando (comportamento como
no infinito).