Calcule
I_{5}=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^{2} d x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}\left(x^{2}+4\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
I_{5}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^{2}\,dx}{\left(x^{2}+1\right)^{2}\left(x^{2}+4\right)^{2}}.
Informações dadas e observações imediatas (apenas listar o que temos):
  • A função integranda é a função racional f(x)=\dfrac{x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}(x^{2}+4)^{2}}.
  • O intervalo de integração é toda a reta real (-\infty,\infty).
  • A função é par (isto é, f(-x)=f(x)), portanto é simétrica em relação à origem.
  • Os pontos onde o denominador zera (potenciais singularidades no plano complexo) são x=\pm i e x=\pm 2i. Cada um desses pontos faz o denominador anular-se com multiplicidade 2, logo são polos de ordem 2 (polo duplo) se estendermos a função para z\in\mathbb{C}.
  • O que se quer: o valor numérico exato de I_{5}.

Passo 2

Escolha do método e justificativa rápida (o procedimento será explicado detalhadamente nos próximos passos).
  • Como a integranda é uma razão de polinômios que decai como 1/|x|^{6} para |x|\to\infty, a integral sobre (-\infty,\infty) converge e podemos aplicar técnicas de integração no plano complexo (contorno) com a fórmula dos resíduos.
  • Vou usar a fórmula dos resíduos: para integrar uma função racional decaindo suficientemente rápido ao longo da reta real, o valor da integral é dado por 2\pi i vezes a soma dos resíduos dos polos no semiplano superior. Nos próximos passos eu explico a fórmula dos resíduos e aplico passo a passo.

Passo 3

Breve aula sobre a fórmula dos resíduos e como calcular resíduos de polo de ordem 2.
  • Teorema dos resíduos (versão usada aqui): se F(z) é meromorfa e decai suficientemente rápido no infinito, então
\int_{-\infty}^{\infty} F(x)\,dx = 2\pi i \sum_{k} \operatorname{Res}(F,z_k),
onde a soma é feita sobre os polos z_k de F no semiplano superior. (Aqui a hipótese de decaimento garante que a contribuição do arco grande tende a zero.)
  • Resíduo em polo de ordem m: se z_0 é polo de ordem m de F, então
\operatorname{Res}(F,z_0)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}}\big[(z-z_0)^m F(z)\big].
  • No nosso caso os polos no semiplano superior são z=i e z=2i, ambos de ordem m=2. Assim, para cada um valem as fórmulas específicas (caso m=2):
\operatorname{Res}(F,z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{d}{dz}\big[(z-z_0)^2 F(z)\big].
Vou aplicar exatamente essa fórmula para z_0=i e z_0=2i.

Passo 4

Cálculo da primitiva auxiliar e do resíduo em z=i.
  • Defina a função complexa
F(z)=\frac{z^{2}}{(z^{2}+1)^{2}(z^{2}+4)^{2}}.
Para z_0=i (polo duplo), constrói-se
h(z)=(z-i)^2 F(z).
Usando z^{2}+1=(z-i)(z+i) temos (z^{2}+1)^{2}=(z-i)^2(z+i)^2, logo os fatores (z-i)^2 cancelam e
h(z)=\frac{z^{2}}{(z+i)^{2}(z^{2}+4)^{2}}.
  • O resíduo é \operatorname{Res}(F,i)=h'(i). Vamos derivar h(z)=\dfrac{A(z)}{B(z)} com A(z)=z^{2} e B(z)=(z+i)^{2}(z^{2}+4)^{2}.
  • Derivadas e avaliações necessárias:
    • A'(z)=2z, então A(i)=i^{2}=-1 e A'(i)=2i.
    • Calcular B(i): z+i em z=i é 2i então (z+i)^{2}=(2i)^{2}=-4. Também z^{2}+4 em z=i é i^{2}+4=-1+4=3, logo (z^{2}+4)^{2}=9. Portanto B(i)=(-4)\cdot 9 = -36.
    • Agora B'(z). Escrevendo B(z)=u(z)v(z) com u(z)=(z+i)^{2} e v(z)=(z^{2}+4)^{2}, tem-se u'(z)=2(z+i) e v'(z)=4z(z^{2}+4). Assim B'(z)=2(z+i)\,v(z)+u(z)\,4z(z^{2}+4).Avaliando em z=i: 2(z+i)v(z)=2(2i)\cdot 9=36i. E u(z)\,4z(z^{2}+4)=(-4)\cdot 4i\cdot 3=-48i. Somando, B'(i)=36i-48i=-12i.
  • Agora aplique a regra do quociente para h'(z)=\dfrac{A'B-AB'}{B^{2}} em z=i:
    • A'(i)B(i)=2i\cdot(-36)=-72i.
    • A(i)B'(i)=(-1)\cdot(-12i)=12i.
    • Numerador: -72i-12i=-84i.
    • Denominador: B(i)^{2}=(-36)^{2}=1296.
    • Logo \operatorname{Res}(F,i)=h'(i)=\frac{-84i}{1296}=-\frac{7}{108}\,i.

Passo 5

Cálculo do resíduo em z=2i.
  • Para z_0=2i procedemos análogamente. Defina
g(z)=(z-2i)^2 F(z)=\frac{z^{2}}{(z+2i)^{2}(z^{2}+1)^{2}}.
O resíduo é \operatorname{Res}(F,2i)=g'(2i).
  • Tome A(z)=z^{2} (como antes) e B(z)=(z+2i)^{2}(z^{2}+1)^{2}. Avaliações:
    • A(2i)=(2i)^{2}=-4, A'(2i)=2(2i)=4i.
    • z+2i em z=2i é 4i então (z+2i)^{2}=(4i)^{2}=-16. z^{2}+1 em z=2i é (2i)^{2}+1=-4+1=-3, então (z^{2}+1)^{2}=9. Portanto B(2i)=(-16)\cdot 9 = -144.
    • Derivada B'(z)=2(z+2i)\, (z^{2}+1)^{2} + (z+2i)^{2}\,4z(z^{2}+1).
      Avaliando em z=2i:
      • 2(z+2i)(z^{2}+1)^{2}=2(4i)\cdot 9=72i.
      • (z+2i)^{2}\,4z(z^{2}+1)=(-16)\cdot 4(2i)(-3)=(-16)\cdot(8i)(-3) = (-16)\cdot(-24i)=384i.
      • Logo B'(2i)=72i+384i=456i.
  • Agora g'(2i)=\dfrac{A'(2i)B(2i)-A(2i)B'(2i)}{B(2i)^{2}}:
    • A'(2i)B(2i)=4i\cdot(-144)=-576i.
    • A(2i)B'(2i)=(-4)\cdot 456i=-1824i. Subtraindo com sinal adequado dá -576i -(-1824i)=1248i.
    • B(2i)^{2}=(-144)^{2}=20736.
    • Assim \operatorname{Res}(F,2i)=g'(2i)=\frac{1248i}{20736}=\frac{13}{216}\,i.

Passo 6

Somando resíduos e calculando a integral real.
  • Soma dos resíduos no semiplano superior:
\operatorname{Res}(F,i)+\operatorname{Res}(F,2i) = -\frac{7}{108}\,i + \frac{13}{216}\,i = \left(-\frac{14}{216}+\frac{13}{216}\right)i = -\frac{1}{216}\,i.
  • Pelo teorema dos resíduos (e justificativa do decaimento), a integral desejada é
I_{5}=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^{2}\,dx}{(x^{2}+1)^{2}(x^{2}+4)^{2}} =2\pi i\left(\operatorname{Res}(F,i)+\operatorname{Res}(F,2i)\right).
  • Substituindo a soma:
I_{5}=2\pi i\left(-\frac{1}{216}\,i\right).
  • Usando i\cdot i = i^{2} = -1, temos i\cdot(-i)=1. Então
I_{5}=2\pi\cdot\frac{1}{216}=\frac{2\pi}{216}=\frac{\pi}{108}.

Passo 7

Verificação rápida de coerência (intuição):
  • O resultado é positivo como esperado (integranda é não-negativa).
  • A ordem de magnitude é pequena, coerente com decaimento forte do integrando (comportamento como 1/x^{6} no infinito).

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{108}

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