Derive as seguintes funções utilizando as regras básicas de derivação:
\mathrm{f}(\mathrm{t})=\left(\frac{5}{1+2 t^{2}}\right));

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função \mathrm{f}(\mathrm{t}) = \left(\dfrac{5}{1+2 t^{2}}\right).
Informações dadas:
  • A variável é \mathrm{t}.
  • A função está escrita como uma fração com numerador constante 5 e denominador 1+2t^2.
  • Objetivo: encontrar \mathrm{f}'(\mathrm{t}), a derivada em relação a \mathrm{t}.

Passo 2

Escolha do método: é mais simples reescrever a função como um produto de uma constante por uma potência negativa e aplicar a regra da cadeia combinada com a regra do fator constante. Ou seja, escrever
\mathrm{f}(\mathrm{t}) = 5\,(1+2t^{2})^{-1}.
Essa forma facilita porque evita a fórmula do quociente e usa regras básicas (constante multiplicativa + potência + cadeia).

Passo 3

Revisão curta das regras que vamos usar (com exemplos simples):
  • Regra do fator constante: se g(\mathrm{t}) = c\cdot h(\mathrm{t}) com c constante, então g'(\mathrm{t}) = c\cdot h'(\mathrm{t}). Ex.: derivada de 3\cdot t^2 é 3\cdot 2t = 6t.
  • Regra da potência (para expoente n real): se p(\mathrm{t}) = u(\mathrm{t})^{n} então, por si só, p'(\mathrm{t}) = n\,u(\mathrm{t})^{\,n-1}\cdot u'(\mathrm{t}) — isto é a regra da cadeia embutida (derivar a potência e multiplicar pela derivada do interior). Ex.: se u(\mathrm{t})=1+2t^2 e n=-1, então derivamos igual a seguir.

Passo 4

Aplicação direta: seja u(\mathrm{t}) = 1+2t^{2}. Então
\mathrm{f}(\mathrm{t}) = 5\,u(\mathrm{t})^{-1}.
Calcular u'(\mathrm{t}):
u'(\mathrm{t}) = \frac{d}{d\mathrm{t}}(1+2t^{2}) = 0 + 2\cdot\frac{d}{d\mathrm{t}}(t^{2}) = 2\cdot(2t) = 4t.
Agora aplicamos a regra da potência com n=-1 e a regra do fator constante:
\mathrm{f}'(\mathrm{t}) = 5\cdot\left(-1\right)u(\mathrm{t})^{-2}\cdot u'(\mathrm{t}).
Substituindo u(\mathrm{t}) e u'(\mathrm{t}):
\mathrm{f}'(\mathrm{t}) = 5\cdot(-1)\,(1+2t^{2})^{-2}\cdot(4t).

Passo 5

Simplificação algébrica:
\mathrm{f}'(\mathrm{t}) = -20t\,(1+2t^{2})^{-2}.
Se preferir escrita em forma de fração:
\mathrm{f}'(\mathrm{t}) = -\dfrac{20t}{(1+2t^{2})^{2}}.

Passo 6

Verificação rápida (opcional): usando a regra do quociente direto em \mathrm{f}(\mathrm{t})=\dfrac{5}{1+2t^{2}}, com numerador v(\mathrm{t})=5 e denominador w(\mathrm{t})=1+2t^{2}, tem-se
\mathrm{f}'(\mathrm{t})=\frac{v' w - v w'}{w^{2}}=\frac{0\cdot w - 5\cdot(4t)}{(1+2t^{2})^{2}}=-\dfrac{20t}{(1+2t^{2})^{2}},
que coincide com o resultado obtido acima.

Resposta

\mathrm{f}'(\mathrm{t})=-\dfrac{20t}{(1+2t^{2})^{2}}

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