Derive as seguintes funções utilizando as regras básicas de derivação:
\mathrm{f}(\mathrm{t})=\left(\frac{5}{1+2 t^{2}}\right));
\mathrm{f}(\mathrm{t})=\left(\frac{5}{1+2 t^{2}}\right));
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A variável é
. - A função está escrita como uma fração com numerador constante
e denominador . - Objetivo: encontrar
, a derivada em relação a .
Passo 2
Escolha do método: é mais simples reescrever a função como um produto de uma constante por uma potência negativa e aplicar a regra da cadeia combinada com a regra do fator constante. Ou seja, escrever
Essa forma facilita porque evita a fórmula do quociente e usa regras básicas (constante multiplicativa + potência + cadeia).
Passo 3
Revisão curta das regras que vamos usar (com exemplos simples):
- Regra do fator constante: se
com constante, então . Ex.: derivada de é . - Regra da potência (para expoente
real): se então, por si só, — isto é a regra da cadeia embutida (derivar a potência e multiplicar pela derivada do interior). Ex.: se e , então derivamos igual a seguir.
Passo 4
Aplicação direta: seja
. Então
Calcular
:
Agora aplicamos a regra da potência com
e a regra do fator constante:
Substituindo
e
:
Passo 5
Simplificação algébrica:
Se preferir escrita em forma de fração:
Passo 6
Verificação rápida (opcional): usando a regra do quociente direto em
, com numerador
e denominador
, tem-se
que coincide com o resultado obtido acima.