Calcule
I_{6}=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}\left(x^{2}+9\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
I_{6}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}\left(x^{2}+9\right)^{2}}.
Informações relevantes que temos:
  • A função integranda é par (depende de x^{2} somente), e é racional com polos simples ou múltiplos fora do eixo real; a integral sobre (-\infty,\infty) é finita.
  • Uma estratégia prática: decompor a função em frações parciais do tipo
\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}(x^{2}+9)^{2}} = \frac{A}{x^{2}+1}+\frac{B}{(x^{2}+1)^{2}}+\frac{C}{x^{2}+9}+\frac{D}{(x^{2}+9)^{2}},
para então integrar cada termo conhecido no intervalo inteiro (-\infty,\infty).
A resolução começa a partir dessa decomposição.

Passo 2

Vou justificar e apresentar as fórmulas que vou usar para integrar cada termo depois da decomposição.
Fórmula 1: para a>0,
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d x}{x^{2}+a^{2}}=\frac{\pi}{a}.
Explicação curta: é a integral clássica da forma \int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{\pi}{2a}; dobrando por paridade obtemos a fórmula acima.
Fórmula 2: para a>0,
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d x}{(x^{2}+a^{2})^{2}}=\frac{\pi}{2a^{3}}.
Derivação didática: faça x=a t, então
\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{2}} =\frac{1}{a^{3}}\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{(t^{2}+1)^{2}}.
Use t=\tan\theta (com dt=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta) para obter
\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{(t^{2}+1)^{2}}=\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta=\frac{\pi}{4}.
Portanto \int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{2}}=\dfrac{\pi}{4a^{3}} e, por paridade, sobre (-\infty,\infty) vale \dfrac{\pi}{2a^{3}}. Essas duas fórmulas permitirão integrar termo-a-termo após a decomposição.

Passo 3

Agora faço a decomposição em frações parciais. Proponho
\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}(x^{2}+9)^{2}} = \frac{A}{x^{2}+1}+\frac{B}{(x^{2}+1)^{2}}+\frac{C}{x^{2}+9}+\frac{D}{(x^{2}+9)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (x^{2}+1)^{2}(x^{2}+9)^{2} obtenho a identidade polinomial
1=A\,(x^{2}+1)(x^{2}+9)^{2}+B\,(x^{2}+9)^{2}+C\,(x^{2}+9)(x^{2}+1)^{2}+D\,(x^{2}+1)^{2}.
Como a expressão só envolve x^{2}, é conveniente fazer a troca y=x^{2} e trabalhar em termos de y:
1=A\,(y+1)(y+9)^{2}+B\,(y+9)^{2}+C\,(y+9)(y+1)^{2}+D\,(y+1)^{2}.

Passo 4

Vou expandir os fatores em y e comparar coeficientes. Primeiro calculo os quadrados:
(y+9)^{2}=y^{2}+18y+81,\qquad (y+1)^{2}=y^{2}+2y+1.
Multiplicando:
(y+1)(y+9)^{2}=y^{3}+19y^{2}+99y+81,
(y+9)(y+1)^{2}=y^{3}+11y^{2}+19y+9.
Substituindo na identidade obtemos, agrupando os coeficientes por potências de y,
1=(A+C)\,y^{3}+\bigl(19A+B+11C+D\bigr)\,y^{2}+\bigl(99A+18B+19C+2D\bigr)\,y+\bigl(81A+81B+9C+D\bigr).
Igualando coeficientes com o polinômio constante 1 (i.e. coeficientes de y^{3},y^{2},y nulos e termo constante 1) obtemos o sistema linear
\begin{cases} A+C=0,\\[4pt] 19A+B+11C+D=0,\\[4pt] 99A+18B+19C+2D=0,\\[4pt] 81A+81B+9C+D=1. \end{cases}]

Passo 5

Resolvo o sistema passo a passo. Da primeira equação vem
C=-A.
Substituo C=-A nas demais equações:
segunda eq.: 19A+B+11(-A)+D=0 8A+B+D=0.
terceira eq.: 99A+18B+19(-A)+2D=0 80A+18B+2D=0 → dividindo por 2: 40A+9B+D=0.
quarta eq.: 81A+81B+9(-A)+D=1 72A+81B+D=1.
Chamo as três equações resultantes de (i),(ii),(iii):
\text{(i)}\quad 8A+B+D=0,
\text{(ii)}\quad 40A+9B+D=0,
\text{(iii)}\quad 72A+81B+D=1.
Subtraio (i) de (ii) para eliminar D:
(40A+9B+D)-(8A+B+D)=32A+8B=0 \quad\Rightarrow\quad 4A+B=0.
Logo
B=-4A.
Usando isso em (i): 8A+(-4A)+D=0 4A+D=0 D=-4A.
Finalmente uso (iii): 72A+81(-4A)+(-4A)=1. Calculando:
72A-324A-4A=1 \quad\Rightarrow\quad -256A=1 \quad\Rightarrow\quad A=-\frac{1}{256}.
Com isso
B=-4A=\frac{1}{64},\qquad C=-A=\frac{1}{256},\qquad D=-4A=\frac{1}{64}.

Passo 6

Escrevo a decomposição encontrada:
\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}(x^{2}+9)^{2}} = -\frac{1}{256}\cdot\frac{1}{x^{2}+1} +\frac{1}{64}\cdot\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}} +\frac{1}{256}\cdot\frac{1}{x^{2}+9} +\frac{1}{64}\cdot\frac{1}{(x^{2}+9)^{2}}.
Passo agora a integrar termo-a-termo sobre (-\infty,\infty), usando as fórmulas do Passo 2:
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+1}=\pi,\qquad \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{\pi}{2},
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+9}=\frac{\pi}{3},\qquad \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^{2}+9)^{2}}=\frac{\pi}{2\cdot 3^{3}}=\frac{\pi}{54}.

Passo 7

Multiplico as constantes pelos valores das integrais:
I_{6}= -\frac{1}{256}\cdot\pi +\frac{1}{64}\cdot\frac{\pi}{2} +\frac{1}{256}\cdot\frac{\pi}{3} +\frac{1}{64}\cdot\frac{\pi}{54}.
Coloco tudo sobre um denominador comum para somar de forma clara. Um denominador comum adequado é 6912 (porque 6912=2^{8}\cdot3^{3}). Convertendo cada fração:
-\frac{1}{256}\pi=-\frac{27}{6912}\pi,\qquad \frac{1}{64}\cdot\frac{1}{2}\pi=\frac{1}{128}\pi=\frac{54}{6912}\pi,
\frac{1}{256}\cdot\frac{1}{3}\pi=\frac{1}{768}\pi=\frac{9}{6912}\pi,\qquad \frac{1}{64}\cdot\frac{1}{54}\pi=\frac{1}{3456}\pi=\frac{2}{6912}\pi.
Somando os numeradores: -27+54+9+2=38. Assim
I_{6}=\frac{38}{6912}\pi=\frac{19}{3456}\pi.

Resposta

\displaystyle I_{6}=\frac{19\pi}{3456}

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