A função integranda é par (depende de x^{2} somente), e é racional com polos simples ou múltiplos fora do eixo real; a integral sobre (-\infty,\infty) é finita.
Uma estratégia prática: decompor a função em frações parciais do tipo
Explicação curta: é a integral clássica da forma \int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{\pi}{2a}; dobrando por paridade obtemos a fórmula acima.
Portanto \int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{2}}=\dfrac{\pi}{4a^{3}} e, por paridade, sobre (-\infty,\infty) vale \dfrac{\pi}{2a^{3}}. Essas duas fórmulas permitirão integrar termo-a-termo após a decomposição.
Passo 3
Agora faço a decomposição em frações parciais. Proponho
Coloco tudo sobre um denominador comum para somar de forma clara. Um denominador comum adequado é 6912 (porque 6912=2^{8}\cdot3^{3}). Convertendo cada fração: