Calcule
\int_{0}^{\infty} \operatorname{cosh} (t) e^{-2 t} d t

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede: \displaystyle \int_{0}^{\infty} \operatorname{cosh}(t)\,e^{-2t}\,dt.
Pediram calcular o valor numérico dessa integral imprópria definida no intervalo [0,\infty).
Informações relevantes (o que aparece no enunciado): a função \operatorname{cosh}(t) e o fator exponencial e^{-2t}. Nada mais foi fornecido na figura/tabela.

Passo 2

Transformar \operatorname{cosh}(t) em uma forma que facilite a integração. Lembre-se da definição (essa é uma fórmula padrão e muito útil):
\operatorname{cosh}(t)=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}.
Aqui \operatorname{cosh}(t) é a cosseno hiperbólico de t, e a fórmula mostra que é a média de e^{t} e e^{-t}. Usamos isso porque produtos com exponenciais são fáceis de integrar. Substituindo na integral, obtemos
\int_{0}^{\infty}\operatorname{cosh}(t)\,e^{-2t}\,dt =\int_{0}^{\infty}\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}\,e^{-2t}\,dt.

Passo 3

Simplificar o integrando multiplicando as exponenciais:
\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}\,e^{-2t} =\frac{1}{2}\bigl(e^{t}e^{-2t}+e^{-t}e^{-2t}\bigr) =\frac{1}{2}\bigl(e^{-t}+e^{-3t}\bigr).
Portanto a integral separa em soma de integrais simples (pela linearidade da integral):
\int_{0}^{\infty}\operatorname{cosh}(t)\,e^{-2t}\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}e^{-t}\,dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}e^{-3t}\,dt.

Passo 4

Avaliar cada integral exponencial. A fórmula básica que usamos é: para a>0,
\int_{0}^{\infty}e^{-a t}\,dt=\left[-\frac{1}{a}e^{-a t}\right]_{0}^{\infty} =\frac{1}{a}.
Explicando a passagem de limites: \lim_{T\to\infty}e^{-aT}=0 quando a>0, então o termo no infinito some e resta \tfrac{1}{a} vindo da avaliação em t=0.
Aplicando com a=1 e a=3:
\int_{0}^{\infty}e^{-t}\,dt=\frac{1}{1}=1, \qquad \int_{0}^{\infty}e^{-3t}\,dt=\frac{1}{3}.

Passo 5

Substituir os resultados no somatório com o fator \tfrac{1}{2}:
\int_{0}^{\infty}\operatorname{cosh}(t)\,e^{-2t}\,dt =\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} =\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{3}\right).

Passo 6

Fazer a soma e simplificar:
\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{3}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3} =\frac{4}{6} =\frac{2}{3}.
Um pequeno comentário de checagem: pela transformada de Laplace, \mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(t)\}(s)=\dfrac{s}{s^{2}-1} para s>1; avaliando em s=2 \dfrac{2}{4-1}=\dfrac{2}{3}, o que confirma o resultado.

Resposta

\tfrac{2}{3}

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