Calcule
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
.
Pediram calcular o valor numérico dessa integral imprópria definida no intervalo .
Informações relevantes (o que aparece no enunciado): a função e o fator exponencial
. Nada mais foi fornecido na figura/tabela.
Pediram calcular o valor numérico dessa integral imprópria definida no intervalo
Informações relevantes (o que aparece no enunciado): a função
Passo 2
Transformar
em uma forma que facilite a integração. Lembre-se da definição (essa é uma fórmula padrão e muito útil):
Aqui
é a cosseno hiperbólico de
, e a fórmula mostra que é a média de
e
. Usamos isso porque produtos com exponenciais são fáceis de integrar. Substituindo na integral, obtemos
Passo 3
Simplificar o integrando multiplicando as exponenciais:
Portanto a integral separa em soma de integrais simples (pela linearidade da integral):
Passo 4
Avaliar cada integral exponencial. A fórmula básica que usamos é: para
,
Explicando a passagem de limites:
quando
, então o termo no infinito some e resta
vindo da avaliação em
.
Aplicando com
e
:
Passo 5
Substituir os resultados no somatório com o fator
:
Passo 6
Fazer a soma e simplificar:
Um pequeno comentário de checagem: pela transformada de Laplace,
para
; avaliando em
dá
, o que confirma o resultado.