Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Informações dadas: o integrando é
e os limites de integração são
e
. A tarefa é avaliar esse valor numérico.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a definição exponencial da função hiperbólica seno (que em português é escrita
):
Substituindo na integral temos
Passo 3
Faça a simplificação algébrica dentro da integral:
Portanto a integral fica
Podemos separar a integral em duas porque a soma/diferença de funções integráveis (no sentido impróprio) é integrável e porque ambas as partes são positivas e convergentes.
Passo 4
Agora calculamos cada integral exponencial como uma integral imprópria padrão. Para
vale
Aplicando com
e
obtemos, para
,
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
. Como
e
, temos
Passo 6
Voltando à expressão com o fator
,
Pronto! A integral converge e o valor é
. Força aí nos estudos — essa foi direta depois de lembrar a definição exponencial de
!