Calcule
\int_{0}^{\infty} \operatorname{senh}(t) e^{-2 t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \operatorname{senh}(t)\,e^{-2t}\,dt.
Informações dadas: o integrando é \operatorname{senh}(t)\,e^{-2t} e os limites de integração são 0 e +\infty. A tarefa é avaliar esse valor numérico.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a definição exponencial da função hiperbólica seno (que em português é escrita \operatorname{senh}):
\operatorname{senh}(t)=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}.
Substituindo na integral temos
\int_{0}^{\infty}\operatorname{senh}(t)\,e^{-2t}\,dt = \int_{0}^{\infty}\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}\,e^{-2t}\,dt.

Passo 3

Faça a simplificação algébrica dentro da integral:
\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}\,e^{-2t}=\frac{1}{2}\big(e^{t}e^{-2t}-e^{-t}e^{-2t}\big) =\frac{1}{2}\big(e^{-t}-e^{-3t}\big).
Portanto a integral fica
\int_{0}^{\infty}\operatorname{senh}(t)\,e^{-2t}\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\big(e^{-t}-e^{-3t}\big)\,dt.
Podemos separar a integral em duas porque a soma/diferença de funções integráveis (no sentido impróprio) é integrável e porque ambas as partes são positivas e convergentes.

Passo 4

Agora calculamos cada integral exponencial como uma integral imprópria padrão. Para a>0 vale
\int_{0}^{R} e^{-a t}\,dt = \left[-\frac{1}{a}e^{-a t}\right]_{0}^{R}=\frac{1}{a}\big(1-e^{-aR}\big).
Aplicando com a=1 e a=3 obtemos, para R>0,
\int_{0}^{R} e^{-t}\,dt = 1-e^{-R} \qquad\text{e}\qquad \int_{0}^{R} e^{-3t}\,dt = \frac{1}{3}\big(1-e^{-3R}\big).

Passo 5

Agora tomamos o limite quando R\to\infty. Como e^{-R}\to 0 e e^{-3R}\to 0, temos
\int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt = 1 \qquad\text{e}\qquad \int_{0}^{\infty} e^{-3t}\,dt = \frac{1}{3}.

Passo 6

Voltando à expressão com o fator \tfrac{1}{2},
\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\big(e^{-t}-e^{-3t}\big)\,dt =\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3} =\frac{1}{3}.
Pronto! A integral converge e o valor é \tfrac{1}{3}. Força aí nos estudos — essa foi direta depois de lembrar a definição exponencial de \operatorname{senh}!

Resposta

\frac{1}{3}

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