QUESTÃO 05 - Calcule o valor da integral
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
Objetivo: encontrar o valor numérico exato de
.
Passo 2
Observação importante sobre
: a função
tem período
, porque
No entanto, ao tomar o valor absoluto temos uma periodicidade menor: para todo
,
portanto
Conclusão:
é periódica de período
.
Passo 3
Como
tem período
, podemos decompor a integral em somatório sobre intervalos de comprimento
:
Faço a mudança de variável
com
. Então
Além disso
. Assim cada termo da soma fica
Portanto a soma fatoriza:
Passo 4
Calculo a série geométrica:
Agora precisamos calcular
Para
temos
(pois
,
e é positiva no interior), então o valor absoluto pode ser retirado:
Passo 5
Para calcular
usamos a primitiva de
. Vou deduzir a fórmula geral por partes (é útil decorá-la para provas):
Defina
Integro por partes tomando
e
. Então
e
. Obtemos
Chamo
. Integro
por partes de forma semelhante:
Substituindo em
:
Rearranjando e resolvendo para
obtém-se
Essa é a fórmula usada.
Passo 6
Aplicando a fórmula com
e
(pois integrando
) temos a primitiva
Agora calculo
como integral definida de
a
:
Avalio nos extremos:
Para
:
,
, então o numerador é
Para
:
,
, então o numerador é
Subtraindo,
Passo 7
Volto à expressão de
:
Simplifico o fator
:
Portanto