QUESTÃO 05 - Calcule o valor da integral
I=\int_{0}^{\infty}|\operatorname{sen}(\pi t)| e^{-t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I=\int_{0}^{\infty}|\operatorname{sen}(\pi t)|e^{-t}\,dt.
Informações dadas:
\text{A função integranda é }|\operatorname{sen}(\pi t)|e^{-t}\text{ definida para }t\ge0.çãé
Objetivo: encontrar o valor numérico exato de I.

Passo 2

Observação importante sobre |\operatorname{sen}(\pi t)|: a função \operatorname{sen}(\pi t) tem período 2, porque
\operatorname{sen}(\pi(t+2))=\operatorname{sen}(\pi t+2\pi)=\operatorname{sen}(\pi t).
No entanto, ao tomar o valor absoluto temos uma periodicidade menor: para todo t,
\operatorname{sen}(\pi(t+1))=\operatorname{sen}(\pi t+\pi)=-\operatorname{sen}(\pi t),
portanto
|\operatorname{sen}(\pi(t+1))|=|\!-\operatorname{sen}(\pi t)|=|\operatorname{sen}(\pi t)|.
Conclusão: |\operatorname{sen}(\pi t)| é periódica de período 1.

Passo 3

Como |\operatorname{sen}(\pi t)| tem período 1, podemos decompor a integral em somatório sobre intervalos de comprimento 1:
I=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{n}^{n+1}|\operatorname{sen}(\pi t)|e^{-t}\,dt.
Faço a mudança de variável t=n+u com u\in[0,1]. Então
|\operatorname{sen}(\pi(n+u))|=|\operatorname{sen}(\pi n+\pi u)|=|\!(-1)^n\operatorname{sen}(\pi u)|=|\operatorname{sen}(\pi u)|.
Além disso e^{-t}=e^{-(n+u)}=e^{-n}e^{-u}. Assim cada termo da soma fica
\int_{n}^{n+1}|\operatorname{sen}(\pi t)|e^{-t}\,dt=e^{-n}\int_{0}^{1}|\operatorname{sen}(\pi u)|e^{-u}\,du.
Portanto a soma fatoriza:
I=\left(\sum_{n=0}^{\infty}e^{-n}\right)\left(\int_{0}^{1}|\operatorname{sen}(\pi u)|e^{-u}\,du\right).

Passo 4

Calculo a série geométrica:
\sum_{n=0}^{\infty}e^{-n}=\frac{1}{1-e^{-1}}=\frac{e}{e-1}.
Agora precisamos calcular
J=\int_{0}^{1}|\operatorname{sen}(\pi u)|e^{-u}\,du.
Para u\in[0,1] temos \operatorname{sen}(\pi u)\ge0 (pois \operatorname{sen}(0)=0, \operatorname{sen}(\pi)=0 e é positiva no interior), então o valor absoluto pode ser retirado:
J=\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(\pi u)e^{-u}\,du.

Passo 5

Para calcular J usamos a primitiva de e^{au}\operatorname{sen}(bu). Vou deduzir a fórmula geral por partes (é útil decorá-la para provas):
Defina
A=\int e^{au}\operatorname{sen}(bu)\,du.
Integro por partes tomando v=e^{au} e dw=\operatorname{sen}(bu)\,du. Então dv=a e^{au}\,du e w=-\frac{1}{b}\cos(bu). Obtemos
A=-\frac{e^{au}\cos(bu)}{b}+\frac{a}{b}\int e^{au}\cos(bu)\,du.
Chamo B=\int e^{au}\cos(bu)\,du. Integro B por partes de forma semelhante:
B=\frac{e^{au}\operatorname{sen}(bu)}{b}-\frac{a}{b}\int e^{au}\operatorname{sen}(bu)\,du=\frac{e^{au}\operatorname{sen}(bu)}{b}-\frac{a}{b}A.
Substituindo em A:
A=-\frac{e^{au}\cos(bu)}{b}+\frac{a}{b}\left(\frac{e^{au}\operatorname{sen}(bu)}{b}-\frac{a}{b}A\right).
Rearranjando e resolvendo para A obtém-se
A=\frac{e^{au}\big(a\operatorname{sen}(bu)-b\cos(bu)\big)}{a^{2}+b^{2}}+C.
Essa é a fórmula usada.

Passo 6

Aplicando a fórmula com a=-1 e b=\pi (pois integrando e^{-u}\operatorname{sen}(\pi u)) temos a primitiva
\int e^{-u}\operatorname{sen}(\pi u)\,du=\frac{e^{-u}\big((-1)\operatorname{sen}(\pi u)-\pi\cos(\pi u)\big)}{1+\pi^{2}}+C =\frac{e^{-u}\big(-\operatorname{sen}(\pi u)-\pi\cos(\pi u)\big)}{1+\pi^{2}}+C.
Agora calculo J como integral definida de 0 a 1:
J=\left[\frac{e^{-u}\big(-\operatorname{sen}(\pi u)-\pi\cos(\pi u)\big)}{1+\pi^{2}}\right]_{0}^{1}.
Avalio nos extremos:
Para u=1: \operatorname{sen}(\pi)=0, \cos(\pi)=-1, então o numerador é
e^{-1}\big(-0-\pi(-1)\big)=e^{-1}\pi.
Para u=0: \operatorname{sen}(0)=0, \cos(0)=1, então o numerador é
e^{0}\big(-0-\pi(1)\big)=-\pi.
Subtraindo,
J=\frac{e^{-1}\pi-(-\pi)}{1+\pi^{2}}=\frac{\pi(1+e^{-1})}{1+\pi^{2}}.

Passo 7

Volto à expressão de I:
I=\frac{e}{e-1}\,J=\frac{e}{e-1}\cdot\frac{\pi(1+e^{-1})}{1+\pi^{2}}.
Simplifico o fator \frac{e}{e-1}(1+e^{-1}):
\frac{e}{e-1}\left(1+\frac{1}{e}\right)=\frac{e}{e-1}\cdot\frac{e+1}{e}=\frac{e+1}{e-1}.
Portanto
I=\frac{\pi(e+1)}{(e-1)(1+\pi^{2})}.

Resposta

I=\frac{\pi(e+1)}{(e-1)(1+\pi^{2})}

Exercícios relacionados