se esse limite existir. Para garantir convergência absoluta, observamos que
\big|\cos(\omega t)\,e^{-t}\big|\le e^{-t},
e sabemos que
\int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt=1,
logo a integral original converge absolutamente. Assim podemos trabalhar com ela normalmente (os limites no infinito vão existir).
Passo 3
Vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes diz que, para funções u(t) e v(t) suficientemente regulares,
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui dv é uma diferencial cuja primitiva é v, e du é a diferencial de u. A ideia é escolher u e dv de forma que as integrais que aparecerem sejam mais fáceis de calcular.
Passo 4
Definimos
I=\int_{0}^{\infty} e^{-t}\cos(\omega t)\,dt.
Fazemos uma integração por partes escolhendo u=\cos(\omega t) e dv=e^{-t}\,dt. Então
du=-\omega\sin(\omega t)\,dt,\qquad v=-e^{-t}.
Aplicando a fórmula em [0,R] e depois levando R\to\infty,
Como checagem rápida: se \omega=0 a integral vira \int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt =1, que bate com a fórmula; se |\omega| aumenta, o denominador aumenta e I diminui, o que faz sentido fisicamente.
Passo 6
Resumo do raciocínio e motivo da escolha do método: escolhi integração por partes duas vezes porque é um método elementar (não exige números complexos) e leva rapidamente a uma equação linear em I que é fácil de resolver. Isso é prático para fazer numa prova sem ferramentas extras. Também verificamos convergência pelo decaimento exponencial, o que garante que os termos de contorno zero são válidos.