Calcule
\int_{0}^{\infty} \cos (\omega t) e^{-t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \cos(\omega t)\,e^{-t}\,dt.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função integrada é t\mapsto \cos(\omega t)\,e^{-t}.
  • O parâmetro \omega é um número real (presumimos \omega\in\mathbb{R}).
  • O intervalo de integração é [0,\infty), ou seja, é uma integral imprópria por causa do limite superior infinito.
  • A presença do fator e^{-t} indica decaimento exponencial quando t\to\infty, o que sugere que a integral converge.

Passo 2

Primeiro vamos entender o que significa a integral imprópria. Definimos
I=\int_{0}^{\infty} \cos(\omega t)\,e^{-t}\,dt
como o limite
I=\lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R}\cos(\omega t)\,e^{-t}\,dt,
se esse limite existir. Para garantir convergência absoluta, observamos que
\big|\cos(\omega t)\,e^{-t}\big|\le e^{-t},
e sabemos que
\int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt=1,
logo a integral original converge absolutamente. Assim podemos trabalhar com ela normalmente (os limites no infinito vão existir).

Passo 3

Vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes diz que, para funções u(t) e v(t) suficientemente regulares,
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui dv é uma diferencial cuja primitiva é v, e du é a diferencial de u. A ideia é escolher u e dv de forma que as integrais que aparecerem sejam mais fáceis de calcular.

Passo 4

Definimos
I=\int_{0}^{\infty} e^{-t}\cos(\omega t)\,dt.
Fazemos uma integração por partes escolhendo u=\cos(\omega t) e dv=e^{-t}\,dt. Então
du=-\omega\sin(\omega t)\,dt,\qquad v=-e^{-t}.
Aplicando a fórmula em [0,R] e depois levando R\to\infty,
\int_{0}^{R} e^{-t}\cos(\omega t)\,dt = \big[-e^{-t}\cos(\omega t)\big]_{0}^{R} - \int_{0}^{R}\big(-e^{-t}\big)\big(-\omega\sin(\omega t)\big)\,dt.
O termo de contorno é
\lim_{R\to\infty}\big(-e^{-R}\cos(\omega R)\big) - \big(-e^{0}\cos(0)\big) = 0 - (-1)=1,
porque e^{-R}\to0 quando R\to\infty. Assim obtemos, escrevendo J=\int_{0}^{\infty} e^{-t}\sin(\omega t)\,dt,
I = 1 + \omega J.

Passo 5

Agora calculamos J também por partes. Tome u=\sin(\omega t) e dv=e^{-t}\,dt. Então
du=\omega\cos(\omega t)\,dt,\qquad v=-e^{-t}.
Aplicando integração por partes em [0,R] e passando R\to\infty,
J=\int_{0}^{\infty} e^{-t}\sin(\omega t)\,dt = \big[-e^{-t}\sin(\omega t)\big]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\big(-e^{-t}\big)\big(\omega\cos(\omega t)\big)\,dt.
O termo de contorno é zero (porque e^{-t}\sin(\omega t)\to0 em t\to\infty e é zero em t=0), então
J = \omega \int_{0}^{\infty} e^{-t}\cos(\omega t)\,dt = \omega I.
Substituindo J=\omega I na equação do Passo 4 ( I=1+\omega J), temos
I = 1 + \omega(\omega I) = 1 + \omega^{2} I.
Isolando I,
I(1+\omega^{2})=1 \quad\Longrightarrow\quad I=\frac{1}{1+\omega^{2}}.
Como checagem rápida: se \omega=0 a integral vira \int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt =1, que bate com a fórmula; se |\omega| aumenta, o denominador aumenta e I diminui, o que faz sentido fisicamente.

Passo 6

Resumo do raciocínio e motivo da escolha do método: escolhi integração por partes duas vezes porque é um método elementar (não exige números complexos) e leva rapidamente a uma equação linear em I que é fácil de resolver. Isso é prático para fazer numa prova sem ferramentas extras. Também verificamos convergência pelo decaimento exponencial, o que garante que os termos de contorno zero são válidos.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{1+\omega^{2}}

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