Calcule:
A=\int_{0}^{+\infty} e^{-t} \cdot \sqrt{t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
A = \int_{0}^{+\infty} e^{-t}\,\sqrt{t}\,dt.
Esse tipo de integral é clássico e envolve a função Gama. Vamos usar a definição da função
\Gamma(\alpha) e suas propriedades para resolver.

Passo 2

Note que \sqrt{t}=t^{1/2}. Se quisermos escrever a integral no formato da função Gama, precisamos de t^{\alpha-1}. Logo, igualando
\alpha - 1 = \tfrac12
temos
\alpha = \tfrac32.
Portanto
A = \int_{0}^{\infty} e^{-t}\,t^{\alpha-1}\,dt \quad\text{com}\quad \alpha = \tfrac32.

Passo 3

Pela definição da função Gama, para \alpha>0 vale
\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty} e^{-t}\,t^{\alpha-1}\,dt.
Assim
A = \Gamma\bigl(\tfrac32\bigr).

Passo 4

Para calcular \Gamma(\tfrac32) usamos a relação de recorrência
\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x) e o fato conhecido
\Gamma(\tfrac12)=\sqrt{\pi}. Portanto,
\Gamma\bigl(\tfrac32\bigr) = \tfrac12\,\Gamma\bigl(\tfrac12\bigr) = \tfrac12\,\sqrt{\pi}.

Resposta

A = \frac{\sqrt{\pi}}{2}.

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