Seja uma laje simplesmente apoiada de concreto com altura h=30 \mathrm{~cm}, largura b=100 \mathrm{~cm}, vão l=10 \mathrm{~m}, carga variável q=7,5 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}, concreto C50, tensão efetiva da armadura de protensão f_{p, e f}=1400 \mathrm{MPa}, tensão na armadura passiva f_{y d}=434,8 \mathrm{MPa}, tensão de compressão máxima permitida em serviço f_{c, \max }=25 M P a e tensão máxima de tração em serviço f_{t, \max }=6,0 \mathrm{MPa}. Calcule a força de protensão para cada situação.
força de protensão excêntrica e=10 \mathrm{~cm} anulando a tensão de tração na fibra inferior da seção no centro do vão

Passo 1

O enunciado trata de uma laje simplesmente apoiada de concreto com
– altura h=0,30\\ \mathrm{m}
– largura b=1,00\\ \mathrm{m} (considerada por metro de largura)
– vão l=10\\ \mathrm{m}
– carga variável q=7{,}5\\ \mathrm{kN/m^2}
Há protensão com tensão efetiva f_{p,ef}=1400\\ \mathrm{MPa} e excentricidade e. Queremos achar a força de protensão P que anule a tensão de tração na fibra inferior no meio do vão, para dois casos:
1. sem excentricidade ( e=0) – protensão puramente axial
2. com excentricidade e=0{,}10\\ \mathrm{m}

Passo 2

Calculamos a área da seção e o momento de inércia em torno do eixo neutro:
A = b\,h = 1{,}00 \times 0,30 = 0{,}30\\ \mathrm{m^2}
I = \frac{b\,h^3}{12} = \frac{1{,}00\times (0,30)^3}{12} = 0{,}00225\\ \mathrm{m^4}
A distância da fibra extrema ao neutro é
y = \frac{h}{2} = 0,15\\ \mathrm{m}.

Passo 3

O momento fletor máximo no meio do vão devido à carga q é
M_q = \frac{q\,b\,l^2}{8} = \frac{7{,}5\;\mathrm{kN/m^2}\times 1{,}00\;\mathrm{m}\times (10\;\mathrm{m})^2}{8} = 93{,}75\;\mathrm{kN\cdot m}.
Convertendo para N\cdot m: M_q=93{,}75\times10^3\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 4

Para uma protensão com força P e excentricidade e constante ao longo do vão (abaixo do neutro), o momento de protensão é M_p=P\,e e o momento resultante no meio do vão é
M_{res} = M_q - P\,e.
A tensão na fibra inferior é
\sigma_{\text{inf}} = -\,\frac{P}{A} \;+\;\frac{M_{res}\;y}{I} = -\,\frac{P}{A} \;+\;\frac{\bigl(M_q - P\,e\bigr)\,y}{I}.
Para anular a tração na fibra inferior impomos \sigma_{\text{inf}}=0, logo
-\,\frac{P}{A} + \frac{M_q\,y}{I} - \frac{P\,e\,y}{I} = 0 \quad\Longrightarrow\quad P\Bigl(\frac{1}{A} + \frac{e\,y}{I}\Bigr) = \frac{M_q\,y}{I},
\boxed{P = \frac{\displaystyle M_q\,y / I}{\displaystyle 1/A + (e\,y)/I}.}

Passo 5

Caso 1: excentricidade zero ( e=0).
P_1 = \frac{(M_q\,y)/I}{1/A} = \frac{M_q\,y}{I}\;A = \Bigl(\frac{93{,}75\times10^3 \times 0,15}{0{,}00225}\Bigr)\times 0{,}30 = 1{,}875\times10^6\\ \mathrm{N} = 1875\\ \mathrm{kN}.

Passo 6

Caso 2: excentricidade e=0{,}10\\ \mathrm{m}.
1/A = \frac{1}{0{,}30}=3{,}333\\ \mathrm{m^{-2}}, \quad \frac{e\,y}{I} = \frac{0{,}10\times0{,}15}{0{,}00225}=6{,}667\\ \mathrm{m^{-2}}.
P_2 = \frac{6{,}25\times10^6\\ \mathrm{Pa}}{3{,}333+6{,}667} = \frac{6{,}25\times10^6}{10} = 0{,}625\times10^6\\ \mathrm{N} = 625\\ \mathrm{kN}.

Resposta

P (sem excentricidade, e=0) =1875 kN
P (com e=0{,}10\\ \mathrm{m}) =625 kN

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