Calcule:
A=\int_{0}^{+\infty} e^{-4 t} \cdot t^{8} d t

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral imprópria
A=\int_{0}^{+\infty} e^{-4 t}\, t^{8}\, dt.
Esse tipo de integral é do tipo Gamma, pois lembra
\int_{0}^{+\infty} t^{n} e^{-a t}\, dt.

Passo 2

Fazendo a substituição u=4t, temos t=\tfrac{u}{4} e dt = \tfrac{du}{4}. Assim
A = \int_{0}^{+\infty} e^{-u} \bigl(\tfrac{u}{4}\bigr)^{8} \frac{du}{4}.

Passo 3

Agrupando as potências de 4,
A = \frac{1}{4^{9}} \int_{0}^{+\infty} u^{8} e^{-u}\, du.
O integral de u^{8}e^{-u} é a definição da função Gamma:
\int_{0}^{+\infty} u^{8} e^{-u}\, du = \Gamma(9).

Passo 4

Sabendo que \Gamma(n+1)=n!, temos \Gamma(9)=8!. Portanto,
A = \frac{8!}{4^{9}}.

Passo 5

Calculando 8! = 40320 e 4^{9}=262144 e simplificando a fração,
A = \frac{40320}{262144} = \frac{315}{2048}.

Resposta

A = \frac{315}{2048}.

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