Seja uma laje simplesmente apoiada de concreto com altura h=30 \mathrm{~cm}, largura b=100 \mathrm{~cm}, vão l=10 \mathrm{~m}, carga variável q=7,5 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}, concreto C50, tensão efetiva da armadura de protensão f_{p, e f}=1400 \mathrm{MPa}, tensão na armadura passiva f_{y d}=434,8 \mathrm{MPa}, tensão de compressão máxima permitida em serviço f_{c, \max }=25 M P a e tensão máxima de tração em serviço f_{t, \max }=6,0 \mathrm{MPa}. Calcule a força de protensão para cada situação.
força de protensão excêntrica e=5 \mathrm{~cm} anulando a tensão de tração na fibra inferior da seção no centro do vão

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos uma laje simplesmente apoiada de largura b=1{,}00\\ \mathrm{m}, altura h=0{,}30\\ \mathrm{m} e vão l=10\\ \mathrm{m}, submetida a carga uniforme q=7{,}5\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2. Queremos determinar a força de protensão P, com excêntrica e=0{,}05\\ \mathrm{m}, de modo que a tensão de tração na fibra inferior no meio do vão seja nula.

Passo 2

Calcular área e momento de inércia da seção retangular:
A = b\,h = 1{,}00\cdot 0{,}30 = 0{,}30\\ \mathrm{m}^2,
I = \frac{b\,h^3}{12} = \frac{1{,}00\cdot (0{,}30)^3}{12} = 0{,}00225\\ \mathrm{m}^4.

Passo 3

O momento fletor máximo no meio do vão, para carga por metro de largura q_\ell = q\cdot b =7{,}5\cdot1{,}00=7{,}5\\ \mathrm{kN/m}, é
M_{\max} = \frac{q_\ell\,l^2}{8} = \frac{7{,}5\cdot(10)^2}{8} =93{,}75\\ \mathrm{kN\cdot m} =93{,}75\times10^3\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 4

A tensão de flexão na fibra inferior devido à carga é
f_{M} = \frac{M_{\max}\,\bigl(h/2\bigr)}{I} = \frac{93\,750\cdot0{,}15}{0{,}00225} \approx 6{,}25\times10^{6}\\ \mathrm{N/m}^2 =6{,}25\\ \mathrm{MPa} \quad(\text{tração}).çã

Passo 5

A tensão total na fibra inferior é soma da tensão uniforme de protensão ( -P/A), da flexão por protensão ( -P\,e\,(h/2)/I) e da flexão da carga ( +f_{M}). Para anular a tração definimos
-\frac{P}{A}\;-\;\frac{P\,e\,(h/2)}{I}\;+\;f_{M}\;=\;0.
Como h/2=0{,}15\\ \mathrm{m}, substituindo A e I:
\frac{1}{A} = 3{,}333\\ \mathrm{m}^{-2}, \quad \frac{e\,(h/2)}{I} = \frac{0{,}05\cdot0{,}15}{0{,}00225} = 3{,}333\\ \mathrm{m}^{-2}.
Logo
P\bigl(3{,}333+3{,}333\bigr) = 6{,}25\quad\Longrightarrow\quad P = \frac{6{,}25}{6{,}666}\times10^{6} \approx 0{,}9375\times10^{6}\\ \mathrm{N}.

Resposta

A força de protensão necessária é
P \approx 0{,}94\\ \mathrm{MN}
por metro de largura da laje.

Exercícios relacionados