Calcule
:
e
é parte de
que está no primeiro, quarto e terceiro quadrantes e sentido horário.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
para
onde
é a parte da elipse
que está nos quadrantes primeiro, quarto e terceiro, percorrida no sentido horário.
Informações relevantes dadas:
- A função vetorial:
. - A curva
é o arco da elipse em , e (ou seja, tudo exceto o arco em ), com sentido horário. - Interseções óbvias da elipse com os eixos (obtidas da própria equação da elipse):
. Estas quatro pontos são importantes para localizar os extremos dos arcos incluídos.
Não começo a resolver aqui; apenas organizei o que foi pedido e os dados.
Passo 2
Identificar claramente os extremos (início e fim) da curva
segundo a orientação dada.
- A elipse, parametricamente, tem pontos superiores
(eixo positivo) e esquerdo (eixo negativo). - Se percorremos a elipse no sentido horário, passando pelos quadrantes
→ → , o caminho parte de , vai para (primeiro quadrante), segue para (quarto), segue para (terceiro) e aí termina — o arco em que voltaria para foi excluído. - Logo, a curva
é um arco orientado que começa em e termina em , , percorrendo os três quadrantes mencionados no sentido horário.
(Resumo: início
, fim
.)
Passo 3
Escolher o método e justificar: verificar se
é um campo conservativo (isso simplifica muito a conta, pois então a integral de linha depende só dos extremos).
- Escrevemos
com e . - Cálculo das derivadas parciais:
- Como
em todo (domínio simplesmente conexo), é conservativo.
Explicação didática curta: quando um campo vetorial
tem
num domínio sem “buracos”, existe uma função potencial
tal que
. Nesse caso a integral de linha entre dois pontos é simplesmente
. Isso economiza trabalho porque não preciso parametrizar todo o arco complicado da elipse.
Passo 4
Achar a função potencial
, passo a passo.
Queremos
e
.
- Integramos
em relação a (tratando como constante): onde é uma função de (constante de integração dependente de ). - Agora usamos a condição sobre a derivada em
: deve ser igual a . Assim com constante real (não influencia a integral de linha). - Portanto uma escolha conveniente para a potencial é
(Se quiser, poderíamos somar uma constante, mas ela cancela na diferença entre valores em dois pontos.)
Passo 5
Aplicar o Teorema Fundamental para campos conservativos:
.
- Ponto inicial:
. Avaliando : - Ponto final:
. Avaliando : - Portanto a integral vale
Passo 6
Resumo e motivação curta: escolhemos o método do potencial porque
é conservativo (derivadas parciais iguais), então evitamos parametrizar os arcos da elipse e usamos só os valores da potencial nos extremos. Resultado final obtido com contas simples de integração e substituição.