Calcule \int_{C}\langle\vec{F}, d \vec{l}\rangle :
\vec{F}(x, y)=\left(2 x^{2}, y^{2}-1\right) e C é parte de \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1 que está no primeiro, quarto e terceiro quadrantes e sentido horário.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \displaystyle \int_{C}\langle\vec{F},d\vec{l}\rangle para \vec{F}(x,y)=\bigl(2x^{2},\,y^{2}-1\bigr) onde C é a parte da elipse
\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1
que está nos quadrantes primeiro, quarto e terceiro, percorrida no sentido horário.
Informações relevantes dadas:
  • A função vetorial: \vec{F}(x,y)=\bigl(2x^{2},\,y^{2}-1\bigr).
  • A curva C é o arco da elipse em Q_1, Q_4 e Q_3 (ou seja, tudo exceto o arco em Q_2), com sentido horário.
  • Interseções óbvias da elipse com os eixos (obtidas da própria equação da elipse): \,(5,0),\,(-5,0),\,(0,3),\,(0,-3)\,. Estas quatro pontos são importantes para localizar os extremos dos arcos incluídos.
Não começo a resolver aqui; apenas organizei o que foi pedido e os dados.

Passo 2

Identificar claramente os extremos (início e fim) da curva C segundo a orientação dada.
  • A elipse, parametricamente, tem pontos superiores \,(0,3) (eixo y positivo) e esquerdo \,(-5,0) (eixo x negativo).
  • Se percorremos a elipse no sentido horário, passando pelos quadrantes Q_1 Q_4 Q_3, o caminho parte de (0,3), vai para (5,0) (primeiro quadrante), segue para (0,-3) (quarto), segue para (-5,0) (terceiro) e aí termina — o arco em Q_2 que voltaria para (0,3) foi excluído.
  • Logo, a curva C é um arco orientado que começa em \,(0,3) e termina em , (-5,0), percorrendo os três quadrantes mencionados no sentido horário.
(Resumo: início \,(0,3), fim \,(-5,0).)

Passo 3

Escolher o método e justificar: verificar se \vec{F} é um campo conservativo (isso simplifica muito a conta, pois então a integral de linha depende só dos extremos).
  • Escrevemos \vec{F}=(P,Q) com P(x,y)=2x^{2} e Q(x,y)=y^{2}-1.
  • Cálculo das derivadas parciais: \frac{\partial P}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=0.
  • Como \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} em todo \mathbb{R}^{2} (domínio simplesmente conexo), \vec{F} é conservativo.
Explicação didática curta: quando um campo vetorial \vec{F}=(P,Q) tem \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x num domínio sem “buracos”, existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{F}. Nesse caso a integral de linha entre dois pontos é simplesmente \varphi(\text{fim})-\varphi(\text{início})í. Isso economiza trabalho porque não preciso parametrizar todo o arco complicado da elipse.

Passo 4

Achar a função potencial \varphi(x,y), passo a passo.
Queremos \displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial x}=2x^{2} e \displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial y}=y^{2}-1.
  • Integramos \frac{\partial \varphi}{\partial x}=2x^{2} em relação a x (tratando y como constante): \varphi(x,y)=\int 2x^{2}\,dx=\frac{2}{3}x^{3}+h(y),onde h(y) é uma função de y (constante de integração dependente de y).
  • Agora usamos a condição sobre a derivada em y: \displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial y}=h'(y) deve ser igual a y^{2}-1. Assim h'(y)=y^{2}-1 \quad\Rightarrow\quad h(y)=\int (y^{2}-1)\,dy=\frac{1}{3}y^{3}-y + C,com C constante real (não influencia a integral de linha).
  • Portanto uma escolha conveniente para a potencial é \varphi(x,y)=\frac{2}{3}x^{3}+\frac{1}{3}y^{3}-y.
(Se quiser, poderíamos somar uma constante, mas ela cancela na diferença entre valores em dois pontos.)

Passo 5

Aplicar o Teorema Fundamental para campos conservativos: \displaystyle \int_{C}\langle\vec{F},d\vec{l}\rangle=\varphi\bigl(\text{ponto final}\bigr)-\varphi\bigl(\text{ponto inicial}\bigr).
  • Ponto inicial: \,(0,3). Avaliando \varphi: \varphi(0,3)=\frac{2}{3}\cdot 0^{3}+\frac{1}{3}\cdot 3^{3}-3=0+9-3=6.
  • Ponto final: \,(-5,0). Avaliando \varphi: \varphi(-5,0)=\frac{2}{3}\cdot(-5)^{3}+\frac{1}{3}\cdot 0^{3}-0=\frac{2}{3}\cdot(-125)=-\frac{250}{3}.
  • Portanto a integral vale \int_{C}\langle\vec{F},d\vec{l}\rangle=\varphi(-5,0)-\varphi(0,3)=-\frac{250}{3}-6=-\frac{250}{3}-\frac{18}{3}=-\frac{268}{3}.

Passo 6

Resumo e motivação curta: escolhemos o método do potencial porque \vec{F} é conservativo (derivadas parciais iguais), então evitamos parametrizar os arcos da elipse e usamos só os valores da potencial nos extremos. Resultado final obtido com contas simples de integração e substituição.

Resposta

-\dfrac{268}{3}

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