Determine uma expressão para o
( n-ésimo ) termo da sequência
, dadas por:
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar uma expressão para o termo geral
da sequência.
Informações dadas (observe os termos explícitos do enunciado):
A sequência começa em e segue indefinidamente.
Informações dadas (observe os termos explícitos do enunciado):
A sequência começa em
Passo 2
Olhe com calma para cada termo e veja o padrão: em cada termo aparece a diferença entre duas frações unitárias (recíprocas de inteiros consecutivos). No primeiro termo aparecem
e
, no segundo
e
, no terceiro
e
, e assim por diante. Então, para o termo de ordem
os inteiros envolvidos são
e
.
Passo 3
Pelo padrão observado, uma boa hipótese para o termo geral é
Vamos checar rapidamente com alguns
: para
obtemos
(conferido); para
obtemos
(conferido). Então a forma acima corresponde exatamente aos termos dados.
Passo 4
Agora vamos transformar essa expressão numa forma mais compacta, fazendo a operação de subtração de frações passo a passo (isso é útil na prova). Para somar/subtrair frações usamos o mesmo denominador (denominador comum). No caso temos denominadores
e
; o denominador comum é
. Então:
Aqui eu multipliquei a primeira fração por
e a segunda por
para igualar denominadores. Agora subtraio os numeradores:
Portanto a expressão se simplifica para
.
Passo 5
Resumo das duas formas equivalentes (úteis na prova):
a) Forma que mostra o padrão original:
a) Forma que mostra o padrão original:
b) Forma simplificada (muitas vezes mais prática para cálculos):
Ambas são corretas; use a que for mais conveniente no exame. Por exemplo, para
:
ou diretamente
.
Passo 6
Dica rápida para a prova: ao ver termos do tipo
pense em telescoping (quando somar vários termos muitos cancelam) e em escrever como
para simplificar cálculos. Você conseguiu — já identificou o padrão e sabe duas formas equivalentes para usar conforme a necessidade!