Determine uma expressão para o \mathrm{a}_{\mathrm{n}} ( n-ésimo ) termo da sequência \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{+\infty}, dadas por:
\left(1-\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right),\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right),\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right), \ldots

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar uma expressão para o termo geral a_{n} da sequência.
Informações dadas (observe os termos explícitos do enunciado):
\left(1-\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right),\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right),\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right),\ldots
A sequência começa em n=1 e segue indefinidamente.

Passo 2

Olhe com calma para cada termo e veja o padrão: em cada termo aparece a diferença entre duas frações unitárias (recíprocas de inteiros consecutivos). No primeiro termo aparecem 1 e 2, no segundo 2 e 3, no terceiro 3 e 4, e assim por diante. Então, para o termo de ordem n os inteiros envolvidos são n e n+1.

Passo 3

Pelo padrão observado, uma boa hipótese para o termo geral é
a_{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.
Vamos checar rapidamente com alguns n: para n=1 obtemos \frac{1}{1}-\frac{1}{2} (conferido); para n=2 obtemos \frac{1}{2}-\frac{1}{3} (conferido). Então a forma acima corresponde exatamente aos termos dados.

Passo 4

Agora vamos transformar essa expressão numa forma mais compacta, fazendo a operação de subtração de frações passo a passo (isso é útil na prova). Para somar/subtrair frações usamos o mesmo denominador (denominador comum). No caso temos denominadores n e n+1; o denominador comum é n(n+1). Então:
\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} = \frac{(n+1)}{n(n+1)}-\frac{n}{n(n+1)}.
Aqui eu multipliquei a primeira fração por \frac{n+1}{n+1} e a segunda por \frac{n}{n} para igualar denominadores. Agora subtraio os numeradores:
\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}.
Portanto a expressão se simplifica para \frac{1}{n(n+1)}.

Passo 5

Resumo das duas formas equivalentes (úteis na prova):
a) Forma que mostra o padrão original:
a_{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.
b) Forma simplificada (muitas vezes mais prática para cálculos):
a_{n}=\frac{1}{n(n+1)}.
Ambas são corretas; use a que for mais conveniente no exame. Por exemplo, para n=4:
a_{4}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{1}{20},
ou diretamente a_{4}=\frac{1}{4\cdot5}=\frac{1}{20}.

Passo 6

Dica rápida para a prova: ao ver termos do tipo \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} pense em telescoping (quando somar vários termos muitos cancelam) e em escrever como \frac{1}{k(k+1)} para simplificar cálculos. Você conseguiu — já identificou o padrão e sabe duas formas equivalentes para usar conforme a necessidade!

Resposta

a_{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}

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