Determine uma expressão para o \mathrm{a}_{\mathrm{n}} ( n-ésimo ) termo da sequência \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{+\infty}, dadas por:
-1,2,-3,4,-5, \ldots

Passo 1

O enunciado dá a sequência -1,2,-3,4,-5,\ldots e pede uma expressão para o termo geral a_{n} (o n-ésimo termo), para n=1,2,3,\ldots.
Informações relevantes: os termos apresentados, a ordem (começando em n=1) e que queremos uma fórmula que gere esses termos.

Passo 2

Observe os valores absolutos dos termos: |-1|=1, |2|=2, |-3|=3, |4|=4, |-5|=5.
Portanto a parte de módulo (a magnitude) de a_{n} parece ser exatamente n. Em linguagem matemática:
|a_{n}| = n.
Explicação didática: o termo na posição n tem módulo igual a n; por exemplo, na posição 3 o valor absoluto é 3.

Passo 3

Agora identifique o sinal de cada termo. Olhando para a sequência: termo 1 é negativo, termo 2 é positivo, termo 3 é negativo, termo 4 é positivo, etc.
Conclusão: para índices ímpares o termo é negativo; para índices pares o termo é positivo. Em outras palavras, o sinal alterna conforme a paridade de n.

Passo 4

Precisamos de uma expressão matemática que seja -1 quando n é ímpar e +1 quando n é par. A potência (-1)^{n} tem exatamente essa propriedade:
  • se n é ímpar então (-1)^{n}=-1;
  • se n é par então (-1)^{n}=+1.
    Exemplos para fixar: (-1)^{1}=-1, (-1)^{2}=+1, (-1)^{3}=-1.

Passo 5

Combine a parte de módulo (Passo 2) com o fator de sinal (Passo 4). A forma natural é multiplicar o sinal pelo módulo, ou seja,
a_{n} = (\text{sinal}) \times (\text{módulo}) = (-1)^{n}\cdot n.ó
Explicação: quando n é ímpar, (-1)^{n}=-1 e a_{n}=-1\cdot n=-n (por exemplo n=3\Rightarrow a_{3}=-3); quando n é par, (-1)^{n}=+1 e a_{n}=+n (por exemplo n=4\Rightarrow a_{4}=4).

Passo 6

Vamos checar os primeiros termos com a fórmula (-1)^{n}n:
(-1)^{1}\cdot 1=-1, (-1)^{2}\cdot 2=2, (-1)^{3}\cdot 3=-3, (-1)^{4}\cdot 4=4.
Coincide com a sequência dada, logo a expressão está correta.

Resposta

a_{n}=(-1)^{n}n

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