Determine uma expressão para o
( n-ésimo ) termo da sequência
, dadas por:
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede uma expressão para o termo geral
(o
-ésimo termo), para
.
Informações relevantes: os termos apresentados, a ordem (começando em ) e que queremos uma fórmula que gere esses termos.
Informações relevantes: os termos apresentados, a ordem (começando em
Passo 2
Observe os valores absolutos dos termos:
,
,
,
,
.
Portanto a parte de módulo (a magnitude) de parece ser exatamente
. Em linguagem matemática:
Portanto a parte de módulo (a magnitude) de
Explicação didática: o termo na posição
tem módulo igual a
; por exemplo, na posição
o valor absoluto é
.
Passo 3
Agora identifique o sinal de cada termo. Olhando para a sequência: termo
é negativo, termo
é positivo, termo
é negativo, termo
é positivo, etc.
Conclusão: para índices ímpares o termo é negativo; para índices pares o termo é positivo. Em outras palavras, o sinal alterna conforme a paridade de .
Conclusão: para índices ímpares o termo é negativo; para índices pares o termo é positivo. Em outras palavras, o sinal alterna conforme a paridade de
Passo 4
Precisamos de uma expressão matemática que seja
quando
é ímpar e
quando
é par. A potência
tem exatamente essa propriedade:
- se
é ímpar então ; - se
é par então .
Exemplos para fixar:, , .
Passo 5
Combine a parte de módulo (Passo 2) com o fator de sinal (Passo 4). A forma natural é multiplicar o sinal pelo módulo, ou seja,
Explicação: quando
é ímpar,
e
(por exemplo
); quando
é par,
e
(por exemplo
).
Passo 6
Vamos checar os primeiros termos com a fórmula
:
,
,
,
.
Coincide com a sequência dada, logo a expressão está correta.
Coincide com a sequência dada, logo a expressão está correta.