( 20 pontos) Esboce e encontre a área da região limitada pelas curvas y=2 x e y=x^{2}-3

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas
y = 2x
e
y = x^2 - 3.
O conteúdo necessário envolve encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas, identificar qual delas está por cima no intervalo determinado e então usar integração para obter a área entre elas.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões de y:
2x = x^2 - 3
e reorganizamos em forma de equação quadrática:
x^2 - 2x - 3 = 0.
Usando a fórmula de Bhaskara,
x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2},
logo
x = 3 \quad\text{ou}\quad x = -1.

Passo 3

Precisamos saber qual curva está acima entre x=-1 e x=3. Definimos a função
\Delta(x) = \bigl(2x\bigr) - \bigl(x^2 - 3\bigr) = -x^2 + 2x + 3.
Bastando avaliar em um ponto interior, por exemplo x=0,
\Delta(0) = -(0)^2 + 2\cdot0 + 3 = 3 > 0,
logo y = 2x está acima de y = x^2 - 3 nesse intervalo.

Passo 4

A área procurada é
\int_{x=-1}^{3} \bigl[\,(2x) - (x^2 - 3)\bigr]\,dx = \int_{-1}^{3} \bigl(-x^2 + 2x + 3\bigr)\,dx.
Calculamos a antiderivada:
\int \bigl(-x^2 + 2x + 3\bigr)\,dx = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x.
Avaliamo-la de -1 a 3:
\bigl[-\tfrac{x^3}{3} + x^2 + 3x\bigr]_{-1}^{3} = \Bigl(-\tfrac{27}{3} + 9 + 9\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{(-1)^3}{3} + 1 + (-3)\Bigr) = ( -9 + 18 ) - \Bigl(\tfrac{1}{3} -2\Bigr) = 9 - \bigl(-\tfrac{5}{3}\bigr) = 9 + \tfrac{5}{3} = \tfrac{32}{3}.

Resposta

A área da região limitada pelas duas curvas é \displaystyle \frac{32}{3}.

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