Calcule
\int_{-2}^{-1}\left(\frac{1}{x^{2}}+x\right) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-2}^{-1}\Bigl(\frac{1}{x^{2}} + x\Bigr)\,dx
Isso envolve o conteúdo de integração de funções polinomiais e de potência, usando o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes e encontramos uma antiderivada para cada termo:
\int \frac{1}{x^{2}}\,dx = \int x^{-2}\,dx = -\,x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C
Logo, uma primitiva comum F(x) de \frac{1}{x^{2}} + x é
F(x) = -\frac{1}{x} + \frac{x^{2}}{2}.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos
\int_{-2}^{-1}\Bigl(\frac{1}{x^{2}} + x\Bigr)\,dx = F(-1) - F(-2).
Calculando:
F(-1) = -\frac{1}{-1} + \frac{(-1)^{2}}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2},
F(-2) = -\frac{1}{-2} + \frac{(-2)^{2}}{2} = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}.
Portanto,
\int_{-2}^{-1}\Bigl(\frac{1}{x^{2}} + x\Bigr)\,dx = \frac{3}{2} - \frac{5}{2} = -1.

Resposta

-1

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