Calcule a área do conjunto do plano limitado pelas retas x=1, x=2, y=0 e pelo gráfico de f(x)=\frac{1}{x^{2}};

Passo 1

O enunciado pede a área do conjunto do plano limitado pelas retas x=1, x=2, y=0 e pelo gráfico de f(x)=\frac{1}{x^2}. O conteúdo envolvido é cálculo de área de regiões planas por integração definida, e vamos precisar usar a integral de f(x) de 1 a 2.

Passo 2

A área A da região abaixo da curva y=f(x) e acima de y=0 entre x=1 e x=2 é dada por
A = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2}\,dx.

Passo 3

Para resolver a integral, lembramos que \frac{1}{x^2} = x^{-2} e sua primitiva é
\int x^{-2}\,dx = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, temos
A = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{2} = \Bigl(-\frac{1}{2}\Bigr) - \Bigl(-\frac{1}{1}\Bigr) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}.

Resposta

\frac{1}{2}

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